§ 7. Solutions
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2) Soit ê >O. Posons fe(t, x) = a(t)x + b(t) + ê et considérons l'équation différentielle
x'(t) = f"(t,x(t)).
La solution maximale 'Pe de cette équation qui vérifie 'Pe (0) = xo + ê est
L'application ' li> vérifie 11>(0) < 'Pe (0) et, pour tout t E [O, +oo[, 1/1 1 ( t) < f" ( t, 1/1( t)). On peut donc appliquer
le lemme IV.1.1 et conclure que pour tout t E (0, +oo[.1/J(t) < 'Pe(t). En faisant tendre ê vers 0, pour chaque
t fixé, on obtient finalement 1/J(t) ~
alors pour tout t E [O, +oo[.1/J(t) ~
affirmer qu'il existe une solution maximale unique 1/J de cette éqaution vérifiant 1/1(0) = 1; elle est définie sur
IR, puisque l'équation (2) est linéaire et définie sur IR.
Pour tous x E IR et t E IR+, on a x - 2t 3 ~ x - 2t 3 cos x ~ x + 2t 3 . Un calcul simple montre que les
solutions maximales 'Pl et 'P2 des équations différentielles linéaires x' ( t) = x(t) - 2t 3 et x' (t) = x( t) + 2t 3
satisfaisant la donnée de Cauchy (0, 1) sont, respectivement,
'Pl (t) =et -1t 2u 3 et-u du= -llet + 2(t 3 + 3t 2 + 6t + 6),
-llet + 2(t 3 + 3t 2 + 6t + 6) ~ 1/J(t) ~ 13et - 2(t 3 + 3t 2 + 6t + 6).
Soit .B la borne supérieure de I. Supposons .B fini. Pour t E [O,,B[, 1/J'(t) = 1/J(t) - 2t 3 cos'ljJ(t), donc
11/J'(t)I ~ 11/J(t)I + 2,8 3 et, par application de l'inégalité de Gronwall VI.1.7,
ce qui prouve que 11/JI est majoré sur (O, ,B( et, par suite, que 11/J'l I'est aussi. Dans ces conditions (voir V.4.3),
1/J admet une limite e E IR quand t tend vers .B et le bout droit de la solution maximale 1/1 contient le point
(,B, e). Or, toujours d'après V.4.3, ce point appartient à la frontière du domaine de définition de lapplication
( t, x) >-+ x - 2t 3 cos x. Cette frontière étant vide, il y a contradiction. On conclut que .B = +oo.
Solution VII.5.
1) Traitons le cas de l'équation (1). Les résultats concernant l'équation (2) s'en déduiront immédiatement en
remplaçant f par la fonction nulle. Mettons l'équation différentielle ( 1) sous forme canonique. Soit de cette équation, définie surun intervalle J. On pose, pourtout t E J, cf!( t) = (
X'(t) = G(t,X(t)),
(
( f (t)
r(t)
q(t) )
avec G t, (x, y)) = y, p(t) - p(t) x - p(t) Y ·
Réciproquement, si cf! est une solution de l'équation différentielle ( *) définie sur un intervalle J, sa première
composante de ( 1) si et seulement si cf! est solution maximale de ( *).
L'équation différentielle(*) est linéaire, de la forme X'(t) = A(t) X(t) + b(t), avec, pour tout t E I,
A(t) = (-r(t~/p(t) -q(t~/p(t)) ' b(t) = ( f(t)~p(t)) .
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2) Soit ê >O. Posons fe(t, x) = a(t)x + b(t) + ê et considérons l'équation différentielle
x'(t) = f"(t,x(t)).
La solution maximale 'Pe de cette équation qui vérifie 'Pe (0) = xo + ê est
L'application ' li> vérifie 11>(0) < 'Pe (0) et, pour tout t E [O, +oo[, 1/1 1 ( t) < f" ( t, 1/1( t)). On peut donc appliquer
le lemme IV.1.1 et conclure que pour tout t E (0, +oo[.1/J(t) < 'Pe(t). En faisant tendre ê vers 0, pour chaque
t fixé, on obtient finalement 1/J(t) ~
alors pour tout t E [O, +oo[.1/J(t) ~
affirmer qu'il existe une solution maximale unique 1/J de cette éqaution vérifiant 1/1(0) = 1; elle est définie sur
IR, puisque l'équation (2) est linéaire et définie sur IR.
Pour tous x E IR et t E IR+, on a x - 2t 3 ~ x - 2t 3 cos x ~ x + 2t 3 . Un calcul simple montre que les
solutions maximales 'Pl et 'P2 des équations différentielles linéaires x' ( t) = x(t) - 2t 3 et x' (t) = x( t) + 2t 3
satisfaisant la donnée de Cauchy (0, 1) sont, respectivement,
'Pl (t) =et -1t 2u 3 et-u du= -llet + 2(t 3 + 3t 2 + 6t + 6),
-llet + 2(t 3 + 3t 2 + 6t + 6) ~ 1/J(t) ~ 13et - 2(t 3 + 3t 2 + 6t + 6).
Soit .B la borne supérieure de I. Supposons .B fini. Pour t E [O,,B[, 1/J'(t) = 1/J(t) - 2t 3 cos'ljJ(t), donc
11/J'(t)I ~ 11/J(t)I + 2,8 3 et, par application de l'inégalité de Gronwall VI.1.7,
ce qui prouve que 11/JI est majoré sur (O, ,B( et, par suite, que 11/J'l I'est aussi. Dans ces conditions (voir V.4.3),
1/J admet une limite e E IR quand t tend vers .B et le bout droit de la solution maximale 1/1 contient le point
(,B, e). Or, toujours d'après V.4.3, ce point appartient à la frontière du domaine de définition de lapplication
( t, x) >-+ x - 2t 3 cos x. Cette frontière étant vide, il y a contradiction. On conclut que .B = +oo.
Solution VII.5.
1) Traitons le cas de l'équation (1). Les résultats concernant l'équation (2) s'en déduiront immédiatement en
remplaçant f par la fonction nulle. Mettons l'équation différentielle ( 1) sous forme canonique. Soit de cette équation, définie surun intervalle J. On pose, pourtout t E J, cf!( t) = (
X'(t) = G(t,X(t)),
(
( f (t)
r(t)
q(t) )
avec G t, (x, y)) = y, p(t) - p(t) x - p(t) Y ·
Réciproquement, si cf! est une solution de l'équation différentielle ( *) définie sur un intervalle J, sa première
composante de ( 1) si et seulement si cf! est solution maximale de ( *).
L'équation différentielle(*) est linéaire, de la forme X'(t) = A(t) X(t) + b(t), avec, pour tout t E I,
A(t) = (-r(t~/p(t) -q(t~/p(t)) ' b(t) = ( f(t)~p(t)) .