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Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
On remarque ainsi que, pour tous t et t' E )0, +oo[, A(t) et A(t') commutent. On sait alors que la résolvante
R(t, ta) de l'équation (*)a pour expression R(t, ta) =exp ( J:: A(s) ds). Mais la matrice Pétant constante,
on a Jt: A(s)ds = P(Jt: D(s) ds )P- 1 , d'è>u finalement
0 )
0
p-1.
( t/to ) 3
3) Le système à résoudre dans cette question s'écrit X'(t) = _tA(t)X(t). D'après la question 1, pour
toute donnée de Cauchy (t0 , (x0 , y0 , zo)) E JO, +oo[ xIR 3 , la solution maximale (t) de ce système vérifiant
(to) = (xo, yo, zo) est la matrice-colonne
O(t) ~ 'R(t-O,t) GD
Solution VII.3.
1) Soit '1jJ une solution maximale de (L) (on pourrait raisonner de la même manière à partir de l'équation (H)).
Si '1jJ est périodique de période T, elle vérifie en particulier '1/J(T) = '1/J(O). Réciproquement, supposons que
'1/J(T) = '1/J(O) et posons, pour tout t E IR, ' 1/J1 (t) = 'ljJ(t + T). L'application ' 1/J1 ainsi définie est dérivable sur
IR, et sa dérivée au point test '1/J~ (t) = '1/J'(t + T). Mais '1jJ étant solution de (L), on a, pour tout t E IR,
' 1/J' (t + T) = A(t + T) 'ljJ(t + T) + J(t + T) = A(t) 'ljJ(t + T) + J(t),
puisque les applications A et f sont périodiques de période T. On a donc '1/J~ (t) = A(t) ' 1/J1 (t) + f(t). De plus
' 1/J1 (0) = '1/J(T) = 'ljJ(O). Les applications '1jJ et ' 1/J1, toutes deux solutions maximales de (L) satisfaisant la même
donnée de Cauchy, sont égales. Autrement dit, la solution ' 1jJ de ( L) est périodique de période T.
2) Supposons qu'il existe une solution non nulle cp de (H), périodique de période T. L'application cp ne s'annule
en aucun point; en particulier cp(O) # O. On sait que pour tout t E IR, cp(t) = R(t, 0) cp(O); on a donc aussi
cp(t + T) = R(t + T, 0) cp(O), ce qui entraîne ( R(t, 0) - R(t + T, 0)) cp(O) = 0 soit encore, en choisissant
t = 0, (ide -R(T, 0)) cp(O) = 0, ce qui prouve que ide -R(T, 0) n'est pas inversible.
Réciproquement, supposons ide -R(T, 0) non inversible. Il existe alors un élément non nul xo de Etel que
(ide -R(T, 0)) xo = O. Ceci s'écrit encore R(O, 0) xo = R(T, 0) xo. Désignons par cp la solution maximale
de (H) telle que cp(O) = xo. On sait que pour tout t E IR, cp(t) = R(t, 0) xo. On a donc cp(O) = cp(T) ce qui
prouve, d'après la question 1, que cp est périodique de période T.
3) Soit a E E et ' 1jJ la solution de l'équation (L) telle que '1/J(O/ =a. La méthode de variation de la constante
(voir théorème 3.1) donne, pour t E IR, cp(t) = R(t, O) a+ j 0 R(t, u)f(u) du.
4) Puisque par hypothèse l'équation ( H) n'a pas de solution périodique non nulle, d'après la question 2, pour tout
t E IR, ide -R( t, 0) est inversible. Soit ' 1jJ une solution maximale de (L ), et a = '1/J(O). Les résultats précédents
montrent que l'application '1jJ est périodique de période T si et seulement si '1/J(T) = '1/J(O), soit encore si
et seulement si '1/J(O) = R(T, 0) a+ j 0 T R(t, u)f(u) du. Cette condition est satisfaite sui et seulement si
a= (R(T,0)- Ide)1
(J: R(T,u)f(u) du). ce qui prouve l'existence et l'unicité de la solution de (L)
périodique de période T.
Solution VII.4.
1) D'après la proposition 4.5, la résolvante de l'équation différentielle homogène associée à l'équation (1) a
pour expression R(t, ta) = exp(ft: a(u) du). La solution maximale cp de (1) vérifiant cp(O) = xo est donc,
d'après 3.1,
Comme il se doit, cette solution est définie sur IR.