§ 7. Solutions
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7. Solutions
Solution VII.1.
1) Supposons les trois solutions Xi. X2, X3 linéairement dépendantes. Il existe alors (a 1 ,a2,a3 ) E JR 3 ,
f (0, 0, 0), tel que pour tout t E /, a1X1 (t) + a2X2(t) + a3X3(t) = (0, 0, 0). Le système linéaire et
homogène
{
a1x1(t) +a2x2(t) + a3x3(t) = 0,
a1y1(t) + a2y2(t) + a3y3(t) = 0,
a1z1 (t) + a2z2(t) + a3z3(t) = 0,
admettant une solution non nulle (a1, a2, a3), a un déterminant nul. Cela prouve que pour tout t E /, U(t)
n'est pas inversible. On vient de prouver que (i) implique (iii).
Il est évident que (iii) implique (ii).
Prouvons maintenant que (ii) implique (i). Soit ta E I tel que U(ta) ne soit pas inversible. Les vecteurs X1 (to).
X2(ta), X3(ta) sont linéairement dépendants; aussi il existe des réels non tous nuls a1, a2 et a3 tels que
a1X1(to) + a2X2(ta) + a3X3(ta) =O. L'application t 1-+ a1X1(t) + a2X2(t) + a3X3(t), définie sur/,
est l'unique solution maximale de l'équation différentielle ( *) qui s'annule au point ta; elle est donc nulle en
tout point de/, et ainsi les applications X1, X2, X3 sont linéairement dépendantes.
2) Soit to E /.On sait (proposition 2.3) que la résolvante R de l'équation (*)vérifie, pourtout i E {1, 2, 3} et
tous tet ta E /, Xi(t) = R(t, to) Xi(to). D'après la définition de U(t), ceci entraîne U(t) = R(t, to)oU(to).
Or, les solutions X1, X2 et X3 étant linéairement indépendantes, U(ta) est inversible, compte tenu de la question
précédente. On obtient donc finalement, pour tout t E I, R( t, to) = U ( t) o U ( to )- 1 .
3) Soit v E JR 3 . D'après la proposition 2.3 et la question précédente, la solution maximale cp de(*) telle que
cp(to) = v est définie sur I par cp(t) = R(t, ta) v = U(t) o U(ta)- 1 v.
Solution VII.2.
1) Soit ta E JO, +oo[ pour le moment fixé. Posons, pour tout t E JO, +oo[, (t) = tR(to, t). On a
(ta)= tR(to, to)I = t1 =/,matrice unité. D'autre part, pour tout t E JO, +oo(. R(to, t) = R(t, to)- 1 .
L'application est donc composée, dans cet ordre, de l'application t 1-+ R(t, to) (définie sur JO, +oo[), et des
applications M 1-+ M- 1 et M 1-+ tM, définies respectivement sur GL(n, IR) (sous-ensemble de Mn(IR)
formé par les matrices inversibles) et Mn(IR). Ces applications sont différentiables. L'application
'()
t( (
) 8R(t,ta) (
))
t = - R to, t
at
R ta, t .
Mais l'application t 1-+ R(t, to) est solution de l'équation résolvante U'(t) = A(t)U(t), ce qui entraîne
8R(t, to)
- - 8 -t- = A(t) R(t, t0 ), et donc finalement
'(t)=- t(R(ta,t)A(t)R(t,to)R(ta,t)) =- \R(to,t)A(t)) =-tA(t)(t).
On peut ainsi conclure (théorème 2.5) que S(t, to) = tR(to, t).
2) Pour tout t E JO, +oo[, les valeurs propres de A(t) sont les racines de son polynôme caractéristique
dét( A(t) - .u) = -(.>. - 3t) 2 (.>. - 3/t). Pour t = 1, A(t) possède une valeur propre triple À = 3 et
on remarque que A(l) = 31. Pour t E JO, +oo[, t f 1, A(t) possède une valeur propre double À= 3t et une
valeur propre simple.>. = 3/t; de plus les sous-espaces propres qui leurs sont associés sont engendrés par les
vecteurs v1 = ( 1, 0 - 1), v2 = ( 0, 1, 0) pour la valeur propre 3t et par v3 = ( 1, -1, 2) pour la valeur propre
3/t. On constate donc, dans les deux cas, que l'on peut écrire A(t) sous la forme A(t) = P D(t) p-I où D(t)
et P sont les matrices
D(t) = G ~
0 )
0
'
3/t
p = ( ~ ~ ~1)
-1 0 2
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7. Solutions
Solution VII.1.
1) Supposons les trois solutions Xi. X2, X3 linéairement dépendantes. Il existe alors (a 1 ,a2,a3 ) E JR 3 ,
f (0, 0, 0), tel que pour tout t E /, a1X1 (t) + a2X2(t) + a3X3(t) = (0, 0, 0). Le système linéaire et
homogène
{
a1x1(t) +a2x2(t) + a3x3(t) = 0,
a1y1(t) + a2y2(t) + a3y3(t) = 0,
a1z1 (t) + a2z2(t) + a3z3(t) = 0,
admettant une solution non nulle (a1, a2, a3), a un déterminant nul. Cela prouve que pour tout t E /, U(t)
n'est pas inversible. On vient de prouver que (i) implique (iii).
Il est évident que (iii) implique (ii).
Prouvons maintenant que (ii) implique (i). Soit ta E I tel que U(ta) ne soit pas inversible. Les vecteurs X1 (to).
X2(ta), X3(ta) sont linéairement dépendants; aussi il existe des réels non tous nuls a1, a2 et a3 tels que
a1X1(to) + a2X2(ta) + a3X3(ta) =O. L'application t 1-+ a1X1(t) + a2X2(t) + a3X3(t), définie sur/,
est l'unique solution maximale de l'équation différentielle ( *) qui s'annule au point ta; elle est donc nulle en
tout point de/, et ainsi les applications X1, X2, X3 sont linéairement dépendantes.
2) Soit to E /.On sait (proposition 2.3) que la résolvante R de l'équation (*)vérifie, pourtout i E {1, 2, 3} et
tous tet ta E /, Xi(t) = R(t, to) Xi(to). D'après la définition de U(t), ceci entraîne U(t) = R(t, to)oU(to).
Or, les solutions X1, X2 et X3 étant linéairement indépendantes, U(ta) est inversible, compte tenu de la question
précédente. On obtient donc finalement, pour tout t E I, R( t, to) = U ( t) o U ( to )- 1 .
3) Soit v E JR 3 . D'après la proposition 2.3 et la question précédente, la solution maximale cp de(*) telle que
cp(to) = v est définie sur I par cp(t) = R(t, ta) v = U(t) o U(ta)- 1 v.
Solution VII.2.
1) Soit ta E JO, +oo[ pour le moment fixé. Posons, pour tout t E JO, +oo[, (t) = tR(to, t). On a
(ta)= tR(to, to)I = t1 =/,matrice unité. D'autre part, pour tout t E JO, +oo(. R(to, t) = R(t, to)- 1 .
L'application est donc composée, dans cet ordre, de l'application t 1-+ R(t, to) (définie sur JO, +oo[), et des
applications M 1-+ M- 1 et M 1-+ tM, définies respectivement sur GL(n, IR) (sous-ensemble de Mn(IR)
formé par les matrices inversibles) et Mn(IR). Ces applications sont différentiables. L'application
'()
t( (
) 8R(t,ta) (
))
t = - R to, t
at
R ta, t .
Mais l'application t 1-+ R(t, to) est solution de l'équation résolvante U'(t) = A(t)U(t), ce qui entraîne
8R(t, to)
- - 8 -t- = A(t) R(t, t0 ), et donc finalement
'(t)=- t(R(ta,t)A(t)R(t,to)R(ta,t)) =- \R(to,t)A(t)) =-tA(t)(t).
On peut ainsi conclure (théorème 2.5) que S(t, to) = tR(to, t).
2) Pour tout t E JO, +oo[, les valeurs propres de A(t) sont les racines de son polynôme caractéristique
dét( A(t) - .u) = -(.>. - 3t) 2 (.>. - 3/t). Pour t = 1, A(t) possède une valeur propre triple À = 3 et
on remarque que A(l) = 31. Pour t E JO, +oo[, t f 1, A(t) possède une valeur propre double À= 3t et une
valeur propre simple.>. = 3/t; de plus les sous-espaces propres qui leurs sont associés sont engendrés par les
vecteurs v1 = ( 1, 0 - 1), v2 = ( 0, 1, 0) pour la valeur propre 3t et par v3 = ( 1, -1, 2) pour la valeur propre
3/t. On constate donc, dans les deux cas, que l'on peut écrire A(t) sous la forme A(t) = P D(t) p-I où D(t)
et P sont les matrices
D(t) = G ~
0 )
0
'
3/t
p = ( ~ ~ ~1)
-1 0 2