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Chapitre VII. Équations düférentielles linéaires
Exercice VII.4.
Soient a et b deux applications de IR vers IR, de classe c=. Soit
x0 E IR*. On considère l'équation différentielle
x'(t) = a(t) x(t) + b(t).
(1)
1) Calculer explicitement la solution maximale <.p de (1) qui vérifie 1.p(O) = x0 • Vérifier
que <.p est définie sur R
2) Soit ' ljJ : [O, ,6[ ~ IR une application de classe C 1 (,6 pouvant être fini ou égal à +oo)
vérifiant 'l/J(O) = x0 et, pour tout t E [O, ,6[, 'ljJ' (t) :::; a(t)'ljJ(t) + b(t). Montrer que pour
tout t E [O, ,6[, 'ljJ(t) :::; cp(t).
3) Soit l'équation différentielle
x'(t) = x(t) - 2t 3 cosx(t).
(2)
Vérifier qu'il existe une solution maximale ' ljJ de (2), définie sur un intervalle ouvert I, telle
que'ljJ(O) = 1. Donnerunencadrementde'ljJ sur Jn[O, +oo[. En déduire que [O, +oo[ c I.
Exercice VII.5. Soit I un intervalle ouvert de lR contenant [O, 1]. Soientp, q, r et f des
fonctions à valeurs réelles définies et continues sur I. On suppose que p ne s'annule pas
sur I. On considère l'équation différentielle
p(t)x"(t) + q(t)x'(t) + r(t)x(t) = f(t),
(1)
et l'équation linéaire et homogène que lui est associée
p(t)x"(t) + q(t)x'(t) + r(t)x(t) = 0.
(2)
1) Soit (x0 , y0 ) E JR 2 • Vérifier qu'il existe une unique solution maximale cp de (1) (resp.,
de (2)), définie sur I, vérifiant cp(O) = xo et cp'(O) = Yo·
2) Soient cp1 et cp2 deux solutions maximales de (2). Pour tout t E J, on pose
W(t) = cp1(t)cp~(t) - cp2(t)cp~(t).
Etablir que les propriétés suivantes sont quivalentes :
(i) les solutions cp1 et cp2 sont linéairement indépendantes,
(ii) pour tout t E J, W(t) f:. 0,
(iii) il existe t E I tel que W(t) f:. O.
3) On suppose désormais que cp1 et cp2 sont linéairement indépendantes. Soit cp la solution
maximale de (1) qui vérifie 1.p(O) = cp'(O) =O. Montrer qu'il existe deux fonctions ..\1 et
..\ 2 , définies et de classe C 1 sur I, telles que on ait
{
À1<.p1 + À2<.p2 = cp'
À~ 'Pl + À~'P2 = 0.
Déterminer ..\1 et ..\2 en fonction de f, <.pi. cp2, pet W.
4) Montrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour que (1) possède une solution cp
vérifiant cp(O) = cp'(O) = 0 et cp(l) = cp'(l) = 0 est que
rl 'P1(t)f(t) dt= rl cp2(t)f(t) dt= o
} 0 W(t)p(t)
} 0 W(t)p(t)
·
Chapitre VII. Équations düférentielles linéaires
Exercice VII.4.
Soient a et b deux applications de IR vers IR, de classe c=. Soit
x0 E IR*. On considère l'équation différentielle
x'(t) = a(t) x(t) + b(t).
(1)
1) Calculer explicitement la solution maximale <.p de (1) qui vérifie 1.p(O) = x0 • Vérifier
que <.p est définie sur R
2) Soit ' ljJ : [O, ,6[ ~ IR une application de classe C 1 (,6 pouvant être fini ou égal à +oo)
vérifiant 'l/J(O) = x0 et, pour tout t E [O, ,6[, 'ljJ' (t) :::; a(t)'ljJ(t) + b(t). Montrer que pour
tout t E [O, ,6[, 'ljJ(t) :::; cp(t).
3) Soit l'équation différentielle
x'(t) = x(t) - 2t 3 cosx(t).
(2)
Vérifier qu'il existe une solution maximale ' ljJ de (2), définie sur un intervalle ouvert I, telle
que'ljJ(O) = 1. Donnerunencadrementde'ljJ sur Jn[O, +oo[. En déduire que [O, +oo[ c I.
Exercice VII.5. Soit I un intervalle ouvert de lR contenant [O, 1]. Soientp, q, r et f des
fonctions à valeurs réelles définies et continues sur I. On suppose que p ne s'annule pas
sur I. On considère l'équation différentielle
p(t)x"(t) + q(t)x'(t) + r(t)x(t) = f(t),
(1)
et l'équation linéaire et homogène que lui est associée
p(t)x"(t) + q(t)x'(t) + r(t)x(t) = 0.
(2)
1) Soit (x0 , y0 ) E JR 2 • Vérifier qu'il existe une unique solution maximale cp de (1) (resp.,
de (2)), définie sur I, vérifiant cp(O) = xo et cp'(O) = Yo·
2) Soient cp1 et cp2 deux solutions maximales de (2). Pour tout t E J, on pose
W(t) = cp1(t)cp~(t) - cp2(t)cp~(t).
Etablir que les propriétés suivantes sont quivalentes :
(i) les solutions cp1 et cp2 sont linéairement indépendantes,
(ii) pour tout t E J, W(t) f:. 0,
(iii) il existe t E I tel que W(t) f:. O.
3) On suppose désormais que cp1 et cp2 sont linéairement indépendantes. Soit cp la solution
maximale de (1) qui vérifie 1.p(O) = cp'(O) =O. Montrer qu'il existe deux fonctions ..\1 et
..\ 2 , définies et de classe C 1 sur I, telles que on ait
{
À1<.p1 + À2<.p2 = cp'
À~ 'Pl + À~'P2 = 0.
Déterminer ..\1 et ..\2 en fonction de f, <.pi. cp2, pet W.
4) Montrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour que (1) possède une solution cp
vérifiant cp(O) = cp'(O) = 0 et cp(l) = cp'(l) = 0 est que
rl 'P1(t)f(t) dt= rl cp2(t)f(t) dt= o
} 0 W(t)p(t)
} 0 W(t)p(t)
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