§ 6. Exercices
(i) les solutions X 1, X 2 , X 3 sont linéairement dépendantes,
(ii) il existe t0 E I tel que U ( t0 ) ne soit pas inversible,
(iii) pour tout t E I, U(t) n'est pas inversible.
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2) On suppose maintenant que X 1 , X 2 , X 3 sont linéairement indépendantes. Montrer que,
pour tous t0 et t E I, la résolvante de l'équation ( *) est R(t, t0 ) = U(t) o U(t0 )- 1 .
3) Soit v E IR 3 . Déterminer la solution maximale cp de ( *) telle que cp(to) = v.
Exercice VII.2. Soit Mn(IR) l'espace des matrices n x n à coefficients réels. Pour toute
matrice ME Mn(IR), on note tM la matrice transposée. Soit A: JO, +oo[---t Mn(IR) une
application continue. On considère l'équation différentielle linéaire
X'(t) = A(t) X(t),
et on note R(t, t0 ) sa résolvante.
1) Montrer que la résolvante S(t, t0 ) de l'équation différentielle
Y'(t) = _tA(t) Y(t)
est S(t, to) = tR(to, t).
2) Dans cette question on choisit :
(
! +2t
A(t)=
~-!
1 t
2( t - t)
0 ! -t)
t
1
3t t - t .
0 1 +t
t
Montrer que A(t) possède une base de vecteurs propres indépendante de t. En déduire la
résolvante R( t, t0 ) de léquation ( *).
3) Résoudre à l'aide des questions précédentes le système :
x' = -( ~ + 2t)x + ( ~ - t)y + 2(t - ~ )z,
y'= -3ty'
z' = (t - ~ )x + ( ~ - t)y - (t + ~)z.
t
t
t
Exercice VII.3.
Soit E un IR-espace vectoriel de dimension finie, A une application
de IR dans .C(E, E), continue et périodique de période T (c'est-à-dire telle que pour tout
t E IR, A(t + T) = A(t)) et f une application de IR dans E continue et périodique de
période T. On considère les équations différentielles :
cp'(t) = A(t) cp(t),
1/J'(t) = A(t) cp(t) + f(t).
(H)
(L)
1) Montrer qu'une solution cp de (L) (resp., une solution ' ljJ de (H)) est périodique de
période T si et seulement si cp(T) = cp(O) (resp., si et seulement si 1/J(T) = 1/J(O)). [Pour
l'équation (H) par exemple, on pourra poser cp1 (t) = cp(t + T)].
2) On note R(t, t 0 ) la résolvante de l'équation (H). Montrer que cette équation possède
une solution non nulle périodique de période T si et seulement si l'application linéaire
id.C(E,E) -R(T, 0) n'est pas inversible.
3) Soit a E E et 'ljJ la solution maximale de l'équation (L) qui vérifie cp(O) =a. Donner
une expression de ' ljJ à l'aide de R, de f et de a.
4) On suppose que l'équation (H) n'a pas de solution périodique non nulle. Montrer que
l'équation (L) a une unique solution périodique de période T.
(i) les solutions X 1, X 2 , X 3 sont linéairement dépendantes,
(ii) il existe t0 E I tel que U ( t0 ) ne soit pas inversible,
(iii) pour tout t E I, U(t) n'est pas inversible.
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2) On suppose maintenant que X 1 , X 2 , X 3 sont linéairement indépendantes. Montrer que,
pour tous t0 et t E I, la résolvante de l'équation ( *) est R(t, t0 ) = U(t) o U(t0 )- 1 .
3) Soit v E IR 3 . Déterminer la solution maximale cp de ( *) telle que cp(to) = v.
Exercice VII.2. Soit Mn(IR) l'espace des matrices n x n à coefficients réels. Pour toute
matrice ME Mn(IR), on note tM la matrice transposée. Soit A: JO, +oo[---t Mn(IR) une
application continue. On considère l'équation différentielle linéaire
X'(t) = A(t) X(t),
et on note R(t, t0 ) sa résolvante.
1) Montrer que la résolvante S(t, t0 ) de l'équation différentielle
Y'(t) = _tA(t) Y(t)
est S(t, to) = tR(to, t).
2) Dans cette question on choisit :
(
! +2t
A(t)=
~-!
1 t
2( t - t)
0 ! -t)
t
1
3t t - t .
0 1 +t
t
Montrer que A(t) possède une base de vecteurs propres indépendante de t. En déduire la
résolvante R( t, t0 ) de léquation ( *).
3) Résoudre à l'aide des questions précédentes le système :
x' = -( ~ + 2t)x + ( ~ - t)y + 2(t - ~ )z,
y'= -3ty'
z' = (t - ~ )x + ( ~ - t)y - (t + ~)z.
t
t
t
Exercice VII.3.
Soit E un IR-espace vectoriel de dimension finie, A une application
de IR dans .C(E, E), continue et périodique de période T (c'est-à-dire telle que pour tout
t E IR, A(t + T) = A(t)) et f une application de IR dans E continue et périodique de
période T. On considère les équations différentielles :
cp'(t) = A(t) cp(t),
1/J'(t) = A(t) cp(t) + f(t).
(H)
(L)
1) Montrer qu'une solution cp de (L) (resp., une solution ' ljJ de (H)) est périodique de
période T si et seulement si cp(T) = cp(O) (resp., si et seulement si 1/J(T) = 1/J(O)). [Pour
l'équation (H) par exemple, on pourra poser cp1 (t) = cp(t + T)].
2) On note R(t, t 0 ) la résolvante de l'équation (H). Montrer que cette équation possède
une solution non nulle périodique de période T si et seulement si l'application linéaire
id.C(E,E) -R(T, 0) n'est pas inversible.
3) Soit a E E et 'ljJ la solution maximale de l'équation (L) qui vérifie cp(O) =a. Donner
une expression de ' ljJ à l'aide de R, de f et de a.
4) On suppose que l'équation (H) n'a pas de solution périodique non nulle. Montrer que
l'équation (L) a une unique solution périodique de période T.