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Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
Nous avons vu (IV.1.4) que la résolution de cette équation se ramène à celle d'une équation
différentielle du premier ordre dans en' de la forme
'1/J'(t) = A'ljJ(t),
où l'inconnue ' ljJ = ( et où A est l'endomorphisme de en ayant pour matrice (également notée A),
A=
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
Les valeurs propres de A sont les racines de l'équation
\n
\n-1
\n-2
Ü
" - aoA
- al"
- · · · - an-1 = .
Nous les désignons par Àk (1 ::; k ::; p) (en convenant de ne considérer que les racines
deux à deux distinctes), et pour chaque k, nous notons nk la multiplicité de Àk.
Toute solution de l'équation (**)est donnée par une expression de la forme
p
k=l
où Pk(t) est un polynôme en t de degré nk - l, à coefficients complexes. Réciproquement,
toute expression de cette forme est une solution de l'équation ( **); en effet, le nombre
total des coefficients des polynômes Pk est L~=l nk = n; il est égal à la dimension de
l'espace vectoriel complexe des solutions de l'équation ( **).Remarquons que par contre,
dans le cas traité dans le paragraphe 6.3, les polynômes Pk ne pouvaient pas être choisis
arbitrairement.
Si les coefficients de l'équation ( **) sont réels, ainsi que les termes Cauchy s'exprime, en termes réels, sous la forme
p
k=l
où Qk(t) et Sk(t) sont des polynômes en t de degré n - 1, à coefficients réels.
6. Exercices
Exercice VII.1. Soit I un intervalle ouvert de IR et A: I ~ .C(IR 3 , IR 3 ) une application
continue. On considère l'équation différentielle linéaire dans IR 3 :
X'(t) = A(t) X(t).
Soient X 1 , X 2 , X 3 trois solutions maximales de (*).On rappelle qu'elles sont définies sur
I. Pour tout t E J, soit U(t) l'endomorphisme de IR 3 ayant pour matrice
(
x1(t) x2(t) x3(t))
Y1 ( t) Y2 ( t) Y3 ( t) .
z1(t) z2(t) z3(t)
1) Etablir que les trois conditions suivantes sont équivalentes :