§ 5. Équations différentielles linéaires homogènes autonomes dans IR.n
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expression dans laquelle A doit être considéré comme un endomorphisme IR.-linéaire de
E.
Nous avons une décomposition en somme directe de Ec,
Ec = ( EBk=l Eck) EB ( EB[,!:+1(Ec1 EB Ec i)) ,
et aussi une décomposition en somme directe de E,
E = (EBk=1Ek) EB (EB[,!:+ 1E1).
Soit alors x0 un élément de E. Nous pouvons le décomposer en une somme, soit en le
considérant comme élément de Ee,, soit en le considérant comme élément de E, et en
utilisant les décompositions en somme directe de ces deux espaces indiquées ci-dessus.
Nous obtenons
r
r+s
xo = L:xok + L (zo1 + zo1)
k=l
l=r+l
r
r+s
= L xo k + L xo 1,
k=l
l=r+l
avec
xo k E Ek c Eck , zo 1 E Ec 1 , zo 1 E Ec 1 , xo 1 = zo 1 + zo 1 E E1 .
L'expression de la solution maximale cp de l'équation différentielle ( *) qui vérifie
cp(t0 ) = x0 , donnée à la fin du paragraphe 6.3, s'écrit maintenant, avec les nos nouvelles
notations,
r
cp(t) = L e>.k(t-to) Pk(t - to)(xok)
k=l
r+s
+ L (eµi(t-to) P1(t - to)(zo1) + eµi(t-to) P1(t - to)(zo1).
l=r+l
Nous pouvons la mettre sous une forme ne faisant intervenir que des quantités réelles :
r
cp(t) = L e>.k(t-to) Pk(t - to)(xok)
k=l
r+s
+ L e1Rµi(t-to) ( cos(t.Sµ1(t - to) )Q1(t - to)
l=r+l
+ sin(t.Sµ1(t - to))S1(t - to)) (xo1),
où chaque Pk(t) est un polynôme en t de degré ::; nk - 1, chaque Q1(t) et chaque
S1(t) un polynôme en t de degré::; m 1 - 1, les coefficients de ces polynômes étant des
endomorphismes IR.-linéaires de E.
5.5. Application aux équations scalaires d'ordre n. - Les résultats du paragraphe 6.3
s'appliquent en particulier aux équations différentielles linéaires homogènes d'ordre n
dans Les coefficients ai (0 ::; i ::; n - 1) sont éléments de IR.-différentiable de IR. dans