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Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
5.4. Application aux équations différentielles: cas réel. - Nous considérons toujours
l'équation différentielle
ip'(t) = Aip(t),
mais nous supposons maintenant que E est un espace vectoriel réel de dimension n, et A
un endomorphisme JR-linéaire de E.
Si les valeurs propres de A sont toutes réelles, les résultats du paragraphe 5.3 subsistent
sans changement.
Si certaines valeurs propres de A sont complexes, nous pouvons considérer le complexifié
Ec de E: c'est l'ensemble des couples (x, y) E E x E, notés z = x + iy, muni des lois
de composition d'addition et de multiplication par les scalaires réels usuelles de E x E,
et de la multiplication par i :
i(x+iy) = -y+ix.
Il est facile de vérifier que Ec est un espace vectoriel complexe de dimension (complexe)
n.
Nous prolongeons A en un endomorphisme C-linéaire de Ec, encore noté A, en posant
A(x + iy) = A(x) + iA(y).
Nous pouvons alors considérer l'équation (*)comme une équation différentielle dans Ec,
à laquelle nous pouvons appliquer les résultats du paragraphe 6.3.
L'espace E s'identifie au sous-ensemble de Ec formé par les éléments z =-= x + iy pour
lesquels y = O. Comme il se doit, si une donnée de Cauchy (t0 , x0 ) E lR x Ec est telle
que x0 E E, la solution maximale est à valeurs dans E. Afin de l'exprimer en termes réels, nous remarquons que les valeurs
propres complexes de A se groupent par paires, les deux termes d'une paire étant complexes
conjugués l'un de l'autre et de même multiplicité; ce sont en effet les racines complexes
du polynôme caractéristique de A, qui est à coefficients réels.
Nous notons maintenant À1 , ... , Àr les valeurs propres réelles de A, n 1 , ... , nr leurs
multiplicités, µr+ 1, µr+ 1, ... , µr+s, µr+s les valeurs propres complexes de A groupées
par paires conjuguées, mr+l, ... , mr+s leurs multiplicités. Posons, pour 1 :::; k :::; r,
Eck= ker(A - Àk idEcrk,
et, pour r + 1 :::; l :::; r + s,
Ec1 = ker(A - µ1 idEc)m 1 ,
Bien entendu, dans les expressions ci-dessus A est considéré comme un endomorphisme
C-linéaire de Ec.
Chaque sous-espace vectoriel complexe Eck de Ec (1 :::; k:::; r) est le complexifié d'un
sous-espace vectoriel réel Ek de E, de dimension nk,
Ek = ker(A - Àk idE)nk ,
expression dans laquelle A est condidéré comme un endomorphisme JR-linéaire de E.
Pour chaque entier l ( r + 1 :::; l :::; r + s ), les sous-espaces vectoriels complexes Ec l et
Ec l de Ec sont images l'un de lautre par l'application de conjugaison complexe (de Ec
dans lui-même),
z = x + iy 1--+ z = x - iy , x et y E E .
Leur somme directe Ec l EB Ec l est le complexifié d'un sous-espace vectoriel réel E 1 de
E, de dimension 2m1. Ce sous-espace n'est autre que
E1 = ker(A 2 - 2~µ1A + lµtl 2 idErk'
Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
5.4. Application aux équations différentielles: cas réel. - Nous considérons toujours
l'équation différentielle
ip'(t) = Aip(t),
mais nous supposons maintenant que E est un espace vectoriel réel de dimension n, et A
un endomorphisme JR-linéaire de E.
Si les valeurs propres de A sont toutes réelles, les résultats du paragraphe 5.3 subsistent
sans changement.
Si certaines valeurs propres de A sont complexes, nous pouvons considérer le complexifié
Ec de E: c'est l'ensemble des couples (x, y) E E x E, notés z = x + iy, muni des lois
de composition d'addition et de multiplication par les scalaires réels usuelles de E x E,
et de la multiplication par i :
i(x+iy) = -y+ix.
Il est facile de vérifier que Ec est un espace vectoriel complexe de dimension (complexe)
n.
Nous prolongeons A en un endomorphisme C-linéaire de Ec, encore noté A, en posant
A(x + iy) = A(x) + iA(y).
Nous pouvons alors considérer l'équation (*)comme une équation différentielle dans Ec,
à laquelle nous pouvons appliquer les résultats du paragraphe 6.3.
L'espace E s'identifie au sous-ensemble de Ec formé par les éléments z =-= x + iy pour
lesquels y = O. Comme il se doit, si une donnée de Cauchy (t0 , x0 ) E lR x Ec est telle
que x0 E E, la solution maximale est à valeurs dans E. Afin de l'exprimer en termes réels, nous remarquons que les valeurs
propres complexes de A se groupent par paires, les deux termes d'une paire étant complexes
conjugués l'un de l'autre et de même multiplicité; ce sont en effet les racines complexes
du polynôme caractéristique de A, qui est à coefficients réels.
Nous notons maintenant À1 , ... , Àr les valeurs propres réelles de A, n 1 , ... , nr leurs
multiplicités, µr+ 1, µr+ 1, ... , µr+s, µr+s les valeurs propres complexes de A groupées
par paires conjuguées, mr+l, ... , mr+s leurs multiplicités. Posons, pour 1 :::; k :::; r,
Eck= ker(A - Àk idEcrk,
et, pour r + 1 :::; l :::; r + s,
Ec1 = ker(A - µ1 idEc)m 1 ,
Bien entendu, dans les expressions ci-dessus A est considéré comme un endomorphisme
C-linéaire de Ec.
Chaque sous-espace vectoriel complexe Eck de Ec (1 :::; k:::; r) est le complexifié d'un
sous-espace vectoriel réel Ek de E, de dimension nk,
Ek = ker(A - Àk idE)nk ,
expression dans laquelle A est condidéré comme un endomorphisme JR-linéaire de E.
Pour chaque entier l ( r + 1 :::; l :::; r + s ), les sous-espaces vectoriels complexes Ec l et
Ec l de Ec sont images l'un de lautre par l'application de conjugaison complexe (de Ec
dans lui-même),
z = x + iy 1--+ z = x - iy , x et y E E .
Leur somme directe Ec l EB Ec l est le complexifié d'un sous-espace vectoriel réel E 1 de
E, de dimension 2m1. Ce sous-espace n'est autre que
E1 = ker(A 2 - 2~µ1A + lµtl 2 idErk'