§ 1. La notion de différentielle
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existe une application linéaire continue cp de E dans F telle que f et l'application
de U dans F
x 1-+ f(a) + cp(x - a)
soient tangentes en a à l'ordre 1, c'est-à-dire si
J(x) - f(a) - cp(x - a) = o(llx - ail) ·
Lorsque c'est le cas, l'application linéaire continue cp E C(E, F) est appelée
différentielle de J au point a.
1.4. Propriétés élémentaires
a) Différentiabilité et continuité. -- Si f est différentiable en a, f est continue en a. En
effet, en notant cp la différentielle de f en a, l'application affine x 1-+ f (a) + cp( x - a) est
continue en a, donc d'après 1.2.f, f l'est aussi.
b) Unicité de la différentielle. - Si f est différentiable en a, sa différentielle en ce point
est unique. Elle est généralement notée Df(a), ou f'(a). Soient en effet cp1 et cp2 deux
applications linéaires continues de E dans F telles que
f(x) - J(a) -
(cp2 - cp1)(x - a)= o(llx - ail)·
En d'autres termes, cp2 - cp1 est tangente à zéro à l'ordre 1 à l'origine. Mais d'après 1.2.g,
cela implique cp2 = cp1.
c) Remplacement des normes. - Si on remplace les normes sur E et sur F par d'autres
normes équivalentes, les notions de différentiabilité et de différentielle restent inchangées :
une application différentiable en a pour les anciennes normes le reste pour les nouvelles,
et sa différentielle reste la même. C'est en effet une conséquence immédiate de 1.2.d.
d) Cas des espaces affines. - La notion d'application différentiable en un point, et celle
de différentielle, conservent un sens lorsque f est une application d'un ouvert U d'un
espace affine Ê, associé à l'espace vectoriel normé E, dans un espace affine F associé à
l'espace vectoriel normé F : il suffit en effet de choisir un point de Ê et un point de F pour
origines pour identifier ces espaces affines aux espaces vectoriels E et F, respectivement. Il
est facile de vérifier que la notion de différentiabilité, et celle de différentielle, ne dépendent
~
~
pas du choix des points de E et de F pris pour origines.
Attention : il importe de remarquer que la différentielle est, encore dans ce cas, une
application linéaire continue de l'espace vectoriel E dans l'espace vectoriel F, et non
une application de Ê dans F.
1.5. Exemple : différentielle et dérivée usuelle. - Considérons le cas où OC = IR, où U
est un intervalle ouvert de IR et f une application de U dans l'espace vectoriel normé F.
L'application f est différentiable au point a E U s'il existe cp E C(IR, F) telle que f et
l'application affine x 1-+ f(a) + cp(x - a) soient tangentes en a, c'est-à-dire si
lim
J(x) - J(a) - cp(x - a) = 0 .
X->a 1 X#a
lx - al
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existe une application linéaire continue cp de E dans F telle que f et l'application
de U dans F
x 1-+ f(a) + cp(x - a)
soient tangentes en a à l'ordre 1, c'est-à-dire si
J(x) - f(a) - cp(x - a) = o(llx - ail) ·
Lorsque c'est le cas, l'application linéaire continue cp E C(E, F) est appelée
différentielle de J au point a.
1.4. Propriétés élémentaires
a) Différentiabilité et continuité. -- Si f est différentiable en a, f est continue en a. En
effet, en notant cp la différentielle de f en a, l'application affine x 1-+ f (a) + cp( x - a) est
continue en a, donc d'après 1.2.f, f l'est aussi.
b) Unicité de la différentielle. - Si f est différentiable en a, sa différentielle en ce point
est unique. Elle est généralement notée Df(a), ou f'(a). Soient en effet cp1 et cp2 deux
applications linéaires continues de E dans F telles que
f(x) - J(a) -
(cp2 - cp1)(x - a)= o(llx - ail)·
En d'autres termes, cp2 - cp1 est tangente à zéro à l'ordre 1 à l'origine. Mais d'après 1.2.g,
cela implique cp2 = cp1.
c) Remplacement des normes. - Si on remplace les normes sur E et sur F par d'autres
normes équivalentes, les notions de différentiabilité et de différentielle restent inchangées :
une application différentiable en a pour les anciennes normes le reste pour les nouvelles,
et sa différentielle reste la même. C'est en effet une conséquence immédiate de 1.2.d.
d) Cas des espaces affines. - La notion d'application différentiable en un point, et celle
de différentielle, conservent un sens lorsque f est une application d'un ouvert U d'un
espace affine Ê, associé à l'espace vectoriel normé E, dans un espace affine F associé à
l'espace vectoriel normé F : il suffit en effet de choisir un point de Ê et un point de F pour
origines pour identifier ces espaces affines aux espaces vectoriels E et F, respectivement. Il
est facile de vérifier que la notion de différentiabilité, et celle de différentielle, ne dépendent
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pas du choix des points de E et de F pris pour origines.
Attention : il importe de remarquer que la différentielle est, encore dans ce cas, une
application linéaire continue de l'espace vectoriel E dans l'espace vectoriel F, et non
une application de Ê dans F.
1.5. Exemple : différentielle et dérivée usuelle. - Considérons le cas où OC = IR, où U
est un intervalle ouvert de IR et f une application de U dans l'espace vectoriel normé F.
L'application f est différentiable au point a E U s'il existe cp E C(IR, F) telle que f et
l'application affine x 1-+ f(a) + cp(x - a) soient tangentes en a, c'est-à-dire si
lim
J(x) - J(a) - cp(x - a) = 0 .
X->a 1 X#a
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