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Chapitre premier. Applications différentiables
Au voisinage du point (a, f(a)), le cercle C est le graphe de l'application
En utilisant des développements limités à l'ordre 2 (supposés acquis en premier cycle),
nous obtenons
K 3
2
h(x) = f(a) + J'(a)(x - a)+ 2 R (x - a) 2 + o(jx - ai) .
D'autre part, d'après la formule de Taylor (sur laquelle nous reviendrons au chapitre III,
mais que nous supposons avoir été acquise en premier cycle au moins pour les fonctions
d'une variable réelle),
f"(a)
2
f(x) = f(a) + J'(a)(x - a)+ - 2 - (x - a) 2 + o(jx - aj) .
Nous voyons que f eth sont tangentes à l'ordre 1 au point a, ce qui n'a rien d'étonnant
puisque le cercle C, centré sur la normale au graphe de f au point d'abscisse a, est tangent
à ce graphe en ce point. De plus, nous voyons que f eth sont tangentes à l'ordre 2 au point
a si et seulement si
1
f"(a)
f"(a)
R
K 3
( 1 + (/'(a)) 2 )
3/2 .
Lorsque f" (a) =f. 0, il existe un réel unique R vérifiant cette formule. Le cercle C
correspondant est appelé cercle osculateur au graphe de f au point d'abscisse a (voir
figure 1).
X
Figure 1. Tangente et cercle osculateur.
La notion de différentielle d'une application f en un point a s'introduit naturellement
lorsqu'on cherche une application affine (c'est-à-dire somme d'une application linéaire et
d'une constante) continue, tangente à l'ordre 1 à l'application f au point a.
1.3. Définition. - On dit qu'une application f de l'ouvert U de l'espace vectoriel
normé E dans l'espace vectoriel normé F est différentiable au point a E U, s'il