§ 1. La notion de différentielle
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Par suite, l'inégalité(*) ci-dessus est vérifiée pour tout élément non nul x de E. Elle est
évidemment vérifiée aussi pour x = 0, donc pour tout x E E. Cette inégalité montre
que la norme ll
l'ordre n à l'origine, pour tout n E N.
h) Exemple : tangente et cercle osculateur en un point à un graphe. - Nous
supposons le lecteur familiarisé avec les notions de dérivabilité et de dérivées première
et seconde d'une fonction d'une variable réelle, afin d'illustrer dès maintenant par un
exemple la définition 1. 1, et de justifier la terminologie employée.
Soit f : I ~ lR une fonction définie sur un intervalle ouvert Ide JR, à valeurs réelles, et a
un point de I. Nous supposons f dérivable au point a. Rappelons que cela signifie que la
limite limx->a , x#a (f ( x) - f (a))/ ( x - a) existe. Cette limite, notée f' (a), est la dérivée
de f au point a.
Soitkunréel,etgk: lR ~ JRI'applicationaffinegk(x) = f(a)+k(x-a).Lesapplications
f et g prennent la même valeur au point a, et nous avons
lim
f(x) - gk(x) = J'(a) - k.
x->a , xfca
X - a
Compte tenu de la remarque 1 .2.c, nous voyons que f et gk sont tangentes à l'ordre 1 au
point a si et seulement si k = f'(a). Lorsque c'est le cas, le graphe de l'application affine
gk est la droite, tangente au graphe de f, au point (a, f (a)) (voir figure 1).
Plus généralement, on voit aisément que deux applications fi : I ~ lR et h : I ~ JR,
dérivables au point a, sont tangentes à l'ordre 1 au point a si et seulement si elles vérifient
fi(a) = h(a) et fi(a) =!Ha), c'est-à-dire si et seulement si leurs graphes sont deux
courbes tangentes au point d'abscisse a.
Supposons maintenant l'application f dérivable sur l, et notons f' : I ~ lR sa dérivée.
Supposons aussi f deux fois dérivable au point a; rappelons que cela signifie que f' est
dérivable au point a; la dérivée de f' en ce point est appelée dérivée seconde de f au point
a et notée f"(a).
Soit un réel R # O. Dans le plan JR. 2 (muni de sa structure euclidienne usuelle), considérons
le cercle C, de rayon IRI, centré sur le point de coordonnées
(a - Rj'(a)(l + (f'(a)) 2 )- 112
f(a) + R(l + (f'(a)) 2 )- 112 ).
Le lecteur notera que le cercle C passe par le point (a, f (a)) et que son centre est sur la
normale au graphe de f en ce point. L'équation cartésienne de C est
( x - a+ Rj'(a)(l + (f'(a)) 2 )- 112 )
2 +(y - f(a) - R(l + (f'(a)) 2 )- 112 )
2 = R 2 •
Posons, pour alléger l'écriture, K = (1 + (f' (a)) 2 ) 112 . L'équation cartésienne du cercle
C s'écrit
(y- f(a) - R/K) 2 = R 2 - (x - a+ RJ'(a)/K) 2 .
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Par suite, l'inégalité(*) ci-dessus est vérifiée pour tout élément non nul x de E. Elle est
évidemment vérifiée aussi pour x = 0, donc pour tout x E E. Cette inégalité montre
que la norme ll
l'ordre n à l'origine, pour tout n E N.
h) Exemple : tangente et cercle osculateur en un point à un graphe. - Nous
supposons le lecteur familiarisé avec les notions de dérivabilité et de dérivées première
et seconde d'une fonction d'une variable réelle, afin d'illustrer dès maintenant par un
exemple la définition 1. 1, et de justifier la terminologie employée.
Soit f : I ~ lR une fonction définie sur un intervalle ouvert Ide JR, à valeurs réelles, et a
un point de I. Nous supposons f dérivable au point a. Rappelons que cela signifie que la
limite limx->a , x#a (f ( x) - f (a))/ ( x - a) existe. Cette limite, notée f' (a), est la dérivée
de f au point a.
Soitkunréel,etgk: lR ~ JRI'applicationaffinegk(x) = f(a)+k(x-a).Lesapplications
f et g prennent la même valeur au point a, et nous avons
lim
f(x) - gk(x) = J'(a) - k.
x->a , xfca
X - a
Compte tenu de la remarque 1 .2.c, nous voyons que f et gk sont tangentes à l'ordre 1 au
point a si et seulement si k = f'(a). Lorsque c'est le cas, le graphe de l'application affine
gk est la droite, tangente au graphe de f, au point (a, f (a)) (voir figure 1).
Plus généralement, on voit aisément que deux applications fi : I ~ lR et h : I ~ JR,
dérivables au point a, sont tangentes à l'ordre 1 au point a si et seulement si elles vérifient
fi(a) = h(a) et fi(a) =!Ha), c'est-à-dire si et seulement si leurs graphes sont deux
courbes tangentes au point d'abscisse a.
Supposons maintenant l'application f dérivable sur l, et notons f' : I ~ lR sa dérivée.
Supposons aussi f deux fois dérivable au point a; rappelons que cela signifie que f' est
dérivable au point a; la dérivée de f' en ce point est appelée dérivée seconde de f au point
a et notée f"(a).
Soit un réel R # O. Dans le plan JR. 2 (muni de sa structure euclidienne usuelle), considérons
le cercle C, de rayon IRI, centré sur le point de coordonnées
(a - Rj'(a)(l + (f'(a)) 2 )- 112
f(a) + R(l + (f'(a)) 2 )- 112 ).
Le lecteur notera que le cercle C passe par le point (a, f (a)) et que son centre est sur la
normale au graphe de f en ce point. L'équation cartésienne de C est
( x - a+ Rj'(a)(l + (f'(a)) 2 )- 112 )
2 +(y - f(a) - R(l + (f'(a)) 2 )- 112 )
2 = R 2 •
Posons, pour alléger l'écriture, K = (1 + (f' (a)) 2 ) 112 . L'équation cartésienne du cercle
C s'écrit
(y- f(a) - R/K) 2 = R 2 - (x - a+ RJ'(a)/K) 2 .