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Chapitre premier. Applications différentiables
En particulier, pour n = 0, une fonction f est tangente à zéro à l'ordre 0 au point a si et
seulement si f s'annule en a et est continue en ce point.
d) Remplacement des normes par d'autres équivalentes. - Soit f : U -> F une
application définie sur un ouvert U de l'espace vectoriel normé E, à valeurs dans l'espace
vectoriel normé F, tangente à zéro à l'ordre n (n E N) en un point a de U. Si l'on
remplace les normes de E et de F par d'autres, équivalentes à celles dont ces espaces
étaient initialement munis, l'application f reste tangente à zéro à l'ordre n au point a.
Soit en effet x ~ llxll1 la norme dont l'espace E est initialement muni, et supposons
qu'on remplace cette norme par une autre équivalente, notée x ~ llxll2- L'équivalence de
ces deux normes (voir par exemple [T.IX.1.2.b]) signifie qu'il existe deux réels>. > 0 et
µ > 0 tels que, pour tout x E E,
>-llxll1 :S llxll2 :S µllxlli ·
Soit c > O. Posons c 1 = Ànc. Puisque f est tangente à zéro à l'ordre n au point a lorsque
E est muni de sa norme initiale, il existe 771 > 0 tel que, pour tout x E U,
llx - alli :S 7]1
implique
Mais llx - all1 :::; >.- 1 11x - all2· Posons 1J = À1J1. Nous voyons alors que x E U et
llx - all2 :S 1] implique llx - all1 :::; 7Ji. qui à son tour implique
llf(x)ll :S c1 (llx - all1t :S c(llx - all2)n,
ce qui exprime que f est tangente à zéro à l'ordre n au point a lorsque E est muni de la
nouvelle norme x ~ llxll2Nous laissons au lecteur le soin de traiter le cas où c'est la norme de F qu'on remplace
par une autre norme équivalente.
e) Comparaison des ordres. - Si f est tangente à zéro à l'ordre n au point a, avec n E N,
alors pour tout m E N vérifiant 0:::; m :::; n, la fonction f est tangente à zéro à l'ordre m
au point a. Nous pouvons en effet toujours imposer au réel 77 > 0 de la définition 1.1 de
vérifier 1J:::; 1; pour llxll :S 1J:::; 1, nous avons alors llx - alln :S llx - allm.
f) Relation avec la continuité. -- Si f est tangente à zéro à l'ordre n au point a.,
nécessairement f(a) = 0 et f est continue en a. Si f et g sont tangentes à l'ordre n en a,
nécessairement f(a) = g(a), et si l'une de ces applications est continue en a, l'autre l'est
aussi.
g) Cas d'une application linéaire. - Une application linéaire Fest tangente
à zéro à l'ordre n à l'origine, avec n E N*, si et seulement si elle est identiquement nulle.
Supposons en effet elle est tangente à zéro à !'ordre 1 à !'origine. Pour tout c > 0, il existe 1J > 0 tel que, pour
tout x E E vérifiant llxll :S 77,
jj
X= llxll z,
1]
T/
avec z = llxll x,
donc llzll = TJ.
Chapitre premier. Applications différentiables
En particulier, pour n = 0, une fonction f est tangente à zéro à l'ordre 0 au point a si et
seulement si f s'annule en a et est continue en ce point.
d) Remplacement des normes par d'autres équivalentes. - Soit f : U -> F une
application définie sur un ouvert U de l'espace vectoriel normé E, à valeurs dans l'espace
vectoriel normé F, tangente à zéro à l'ordre n (n E N) en un point a de U. Si l'on
remplace les normes de E et de F par d'autres, équivalentes à celles dont ces espaces
étaient initialement munis, l'application f reste tangente à zéro à l'ordre n au point a.
Soit en effet x ~ llxll1 la norme dont l'espace E est initialement muni, et supposons
qu'on remplace cette norme par une autre équivalente, notée x ~ llxll2- L'équivalence de
ces deux normes (voir par exemple [T.IX.1.2.b]) signifie qu'il existe deux réels>. > 0 et
µ > 0 tels que, pour tout x E E,
>-llxll1 :S llxll2 :S µllxlli ·
Soit c > O. Posons c 1 = Ànc. Puisque f est tangente à zéro à l'ordre n au point a lorsque
E est muni de sa norme initiale, il existe 771 > 0 tel que, pour tout x E U,
llx - alli :S 7]1
implique
Mais llx - all1 :::; >.- 1 11x - all2· Posons 1J = À1J1. Nous voyons alors que x E U et
llx - all2 :S 1] implique llx - all1 :::; 7Ji. qui à son tour implique
llf(x)ll :S c1 (llx - all1t :S c(llx - all2)n,
ce qui exprime que f est tangente à zéro à l'ordre n au point a lorsque E est muni de la
nouvelle norme x ~ llxll2Nous laissons au lecteur le soin de traiter le cas où c'est la norme de F qu'on remplace
par une autre norme équivalente.
e) Comparaison des ordres. - Si f est tangente à zéro à l'ordre n au point a, avec n E N,
alors pour tout m E N vérifiant 0:::; m :::; n, la fonction f est tangente à zéro à l'ordre m
au point a. Nous pouvons en effet toujours imposer au réel 77 > 0 de la définition 1.1 de
vérifier 1J:::; 1; pour llxll :S 1J:::; 1, nous avons alors llx - alln :S llx - allm.
f) Relation avec la continuité. -- Si f est tangente à zéro à l'ordre n au point a.,
nécessairement f(a) = 0 et f est continue en a. Si f et g sont tangentes à l'ordre n en a,
nécessairement f(a) = g(a), et si l'une de ces applications est continue en a, l'autre l'est
aussi.
g) Cas d'une application linéaire. - Une application linéaire
à zéro à l'ordre n à l'origine, avec n E N*, si et seulement si elle est identiquement nulle.
Supposons en effet elle est tangente à zéro à !'ordre 1 à !'origine. Pour tout c > 0, il existe 1J > 0 tel que, pour
tout x E E vérifiant llxll :S 77,
jj
X= llxll z,
1]
T/
avec z = llxll x,
donc llzll = TJ.