Chapitre premier
Applications différentiables
Le lecteur est sans doute déjà familiarisé avec le calcul de la dérivée d'une fonction d'une
variable, ou des dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables. La notion de
différentielle, introduite dans le présent chapitre, permet d'étendre ce type de calcul aux
fonctions (ou applications) définies sur un ouvert d'un espace vectoriel normé. Nous allons
en étudier les propriétés élémentaires. Puis nous introduirons une importante inégalité
connue sous le nom de théorème des accroissements finis.
Les espaces vectoriels normés considérés dans ce chapitre sont des espaces vectoriels sur
un corps OC qui pourra être lR ou C.
1. La notion de différentielle
1.1. Définition. - Soit U un ouvert d'un espace vectoriel normé E, f une application
de U dans un autre espace vectoriel normé F, et a un point de U. On dit que f
est tangente à zéro à l'ordre n au point a (avec n EN), et on écrit
f(x) = o(llx - alln),
si pour tout€ > 0, il existe T/ > 0 tel que, pour tout x E U,
llx - ail ~ T/
implique
llJ(x)ll ~ €jjx - alln.
Pour n = 1, on dit simplement tangente à zéro.
On dit que deux applications f et g de U dans F sont tangentes à l'ordre n en a si
J - g est tangente à zéro à l'ordre n au point a.
1.2. Remarques et exemple
. a) Relation d'équivalence. - On vérifie aisément que la propriété "f et g sont tangentes
à l'ordre n au point a" est une relation d'équivalence.
b) Addition et multiplication par les scalaires. - Soient fi et fz deux applications de
U dans F tangentes à zéro à l'ordre n en un point a de U, et À E OC un scalaire. On vérifie
aisément que fi + fz et .\fi sont tangentes à zéro à 1' ordre n au point a.
c) Expression en termes de limite. - Dire que f est tangente à zéro à l'ordre n au point
a équivaut à dire que f(a) = 0 et que
lim
J(x) = 0.
x->a, xf-a llx - alln
Applications différentiables
Le lecteur est sans doute déjà familiarisé avec le calcul de la dérivée d'une fonction d'une
variable, ou des dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables. La notion de
différentielle, introduite dans le présent chapitre, permet d'étendre ce type de calcul aux
fonctions (ou applications) définies sur un ouvert d'un espace vectoriel normé. Nous allons
en étudier les propriétés élémentaires. Puis nous introduirons une importante inégalité
connue sous le nom de théorème des accroissements finis.
Les espaces vectoriels normés considérés dans ce chapitre sont des espaces vectoriels sur
un corps OC qui pourra être lR ou C.
1. La notion de différentielle
1.1. Définition. - Soit U un ouvert d'un espace vectoriel normé E, f une application
de U dans un autre espace vectoriel normé F, et a un point de U. On dit que f
est tangente à zéro à l'ordre n au point a (avec n EN), et on écrit
f(x) = o(llx - alln),
si pour tout€ > 0, il existe T/ > 0 tel que, pour tout x E U,
llx - ail ~ T/
implique
llJ(x)ll ~ €jjx - alln.
Pour n = 1, on dit simplement tangente à zéro.
On dit que deux applications f et g de U dans F sont tangentes à l'ordre n en a si
J - g est tangente à zéro à l'ordre n au point a.
1.2. Remarques et exemple
. a) Relation d'équivalence. - On vérifie aisément que la propriété "f et g sont tangentes
à l'ordre n au point a" est une relation d'équivalence.
b) Addition et multiplication par les scalaires. - Soient fi et fz deux applications de
U dans F tangentes à zéro à l'ordre n en un point a de U, et À E OC un scalaire. On vérifie
aisément que fi + fz et .\fi sont tangentes à zéro à 1' ordre n au point a.
c) Expression en termes de limite. - Dire que f est tangente à zéro à l'ordre n au point
a équivaut à dire que f(a) = 0 et que
lim
J(x) = 0.
x->a, xf-a llx - alln