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Chapitre premier. Applications différentiables
Mais (voir par exemple [T.IX.3.8.a]) l'espace L:(IR, F) s'identifie à F, grâce à l'isomorphisme qui associe, à chaque élément cp de L:(IR, F), l'élément ép = cp(l) de F. Nous
pouvons donc écrire cp(x - a) = (x - a)ép. L'application f est donc différentiable au point
a et admet en ce point lim
f ( x) - f (a) = ép .
x->a, x#a
X - a
L'élément ép de Fest la dériv""ie de Taupoint·~~~-~-~~~~uel.
Ce qui précède reste applicable lorsque .OC. = C et que U est un ouvert de C.
1.6. Remarques, compléments et exemples
a) Dérivées directionnelles. - L'exemple précédent montre qu'une application f d'un
ouvert U de lR dans un espace vectoriel normé réel F est différentiable en un point a
de U, au sens de la définition 1.3, si et seulement si elle est dérivable en ce point au
sens usuel. Lorsque c'est le cas, sa différentielle au point a, élément de l'espace L:(IR, F)
des applications linéaires de lR dans F, et sa dérivée au point a, élément de l'espace F,
s'identifient de manière très naturelle, grâce à l'isomorphisme canonique de L:(IR, F)~r
F. Supposons maintenant l'application f définie sur un ouvert U d'un espace vectoriel
normé réel Ede dimension (finie ou infinie) strictement supérieure à 1, et soit a un point
de U. Soit v un élément de E. L'application t 1-+ f (a + tv) est définie sur un ouvert de lR
contenant l'origine, et à valeurs dans F. Nous dirons que f est dérivable dans la direction
du vecteur v si la limite
lim J(a + tv) - f(a)
t->O, t#O
t
existe. Lorsque c'est le cas, cette limite est appelée dérivée directionnelle de f au point a
dans la direction du vecteur v, et notée Lvf(a).
Il est facile de vérifier que si f est différentiable en a, elle admet en ce point, pour tout
vecteur v E E, une dérivée directionnelle dans la direction de v dont l'expression, au
moyen de la différentielle D f (a) de f au point a, est
Lvf(a) = Df(a)(v).
Une application peut avoir, en un point, des dérivées directionnelles dans toutes les
directions sans être différentiable en ce point. Considérons par exemple l'application
f : IR 2 ---t IR,
{
x(x 2 - 3y 2 )
J(x, y) = 0
x2 + y2
si (x, y) -::/= (0, 0),
si (x, y) = (0, 0).
L'application f, étant homogène de degré 1 en (x, y) admet à l'origine une dérivée directionnelle dans la direction de tout vecteur ( u, v) du plan IR 2 , et nous avons L(u,v)i(O, 0) =
J(u,v). Mais comme (u,v) 1-+ L(u,vif(O,O) n'est pas une forme linéaire sur IR 2 ,
l'application f n'est pas différentiable à lorigine.
Le lecteur astucieux aura remarqué qu'en coordonnées polaires (r, 8), l'expression de f
est J (r, 8) = r cos(38). Il pourra, à titre d'exercice, faire un dessin représentant le graphe
de f.
Chapitre premier. Applications différentiables
Mais (voir par exemple [T.IX.3.8.a]) l'espace L:(IR, F) s'identifie à F, grâce à l'isomorphisme qui associe, à chaque élément cp de L:(IR, F), l'élément ép = cp(l) de F. Nous
pouvons donc écrire cp(x - a) = (x - a)ép. L'application f est donc différentiable au point
a et admet en ce point lim
f ( x) - f (a) = ép .
x->a, x#a
X - a
L'élément ép de Fest la dériv""ie de Taupoint·~~~-~-~~~~uel.
Ce qui précède reste applicable lorsque .OC. = C et que U est un ouvert de C.
1.6. Remarques, compléments et exemples
a) Dérivées directionnelles. - L'exemple précédent montre qu'une application f d'un
ouvert U de lR dans un espace vectoriel normé réel F est différentiable en un point a
de U, au sens de la définition 1.3, si et seulement si elle est dérivable en ce point au
sens usuel. Lorsque c'est le cas, sa différentielle au point a, élément de l'espace L:(IR, F)
des applications linéaires de lR dans F, et sa dérivée au point a, élément de l'espace F,
s'identifient de manière très naturelle, grâce à l'isomorphisme canonique de L:(IR, F)~r
F. Supposons maintenant l'application f définie sur un ouvert U d'un espace vectoriel
normé réel Ede dimension (finie ou infinie) strictement supérieure à 1, et soit a un point
de U. Soit v un élément de E. L'application t 1-+ f (a + tv) est définie sur un ouvert de lR
contenant l'origine, et à valeurs dans F. Nous dirons que f est dérivable dans la direction
du vecteur v si la limite
lim J(a + tv) - f(a)
t->O, t#O
t
existe. Lorsque c'est le cas, cette limite est appelée dérivée directionnelle de f au point a
dans la direction du vecteur v, et notée Lvf(a).
Il est facile de vérifier que si f est différentiable en a, elle admet en ce point, pour tout
vecteur v E E, une dérivée directionnelle dans la direction de v dont l'expression, au
moyen de la différentielle D f (a) de f au point a, est
Lvf(a) = Df(a)(v).
Une application peut avoir, en un point, des dérivées directionnelles dans toutes les
directions sans être différentiable en ce point. Considérons par exemple l'application
f : IR 2 ---t IR,
{
x(x 2 - 3y 2 )
J(x, y) = 0
x2 + y2
si (x, y) -::/= (0, 0),
si (x, y) = (0, 0).
L'application f, étant homogène de degré 1 en (x, y) admet à l'origine une dérivée directionnelle dans la direction de tout vecteur ( u, v) du plan IR 2 , et nous avons L(u,v)i(O, 0) =
J(u,v). Mais comme (u,v) 1-+ L(u,vif(O,O) n'est pas une forme linéaire sur IR 2 ,
l'application f n'est pas différentiable à lorigine.
Le lecteur astucieux aura remarqué qu'en coordonnées polaires (r, 8), l'expression de f
est J (r, 8) = r cos(38). Il pourra, à titre d'exercice, faire un dessin représentant le graphe
de f.