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CHAPITRE 5. DÉTERMINATION DES LIMITES DE RÉSISTANCE
5.7.2 Discussion physique
Nous empruntons le raisonnement suivant à Lemaître et Chaboche [51]. Le
dommage de Palmgren est une notion formelle. Mais on peut imaginer qu'il
existe dans le matériau une variable constitutive δ permettant d'exprimer son
dommage de manière objective. On peut encore admettre que sous l'eet d'un
sollicitation σ appliquée pendant dn cycles, ce dommage varie selon une équation
d'état du type
dδ = f (σ, δ)dn
(5.71)
L'hypothèse la plus simple que l'on puisse imaginer quant à la structure de cette
fonction f consiste à la supposer séparée
f (σ, δ) = A(σ)B(δ)
(5.72)
Dans ce cas, l'équation d'état se ramène à
dδ
B(δ)
= A(σ)dn
et, en introduisant la primitive
C(δ) =
δ
0
dx
B(x)
(5.73)
on obtient
dC
dδ
dδ = A(σ)dn
(5.74)
Considérons d'abord le cas simple d'une sollicitation d'amplitude constante.
En admettant que la rupture se produise pour une valeur donnée δ
∗
du dommage, le nombre de cycles à la rupture N (σ) est donné par la condition
C(δ
∗ ) = A(σ)N (σ)
ce qui implique
A(σ) =
C(δ
∗ )
N (σ)
(5.75)
Lorsque la sollicitation varie dans le temps, on obtient après un temps t 1 un
dommage physique δ 1 donné par
C(δ 1 ) =
t1
0
A(σ(t))
dn
dt
dt =
t1
0
C(δ
∗ )
N (σ(t))
dn
dt
dt
soit encore
C(δ 1 )
C(δ ∗ )
=
t1
0
1
N (σ(t))
dn
dt
dt
(5.76)
On en déduit que le dommage physique δ 1 vaudra δ
∗
, ce qui correspond à le
rupture, après un temps T donné par
T
0
1
N (σ(t))
dn
dt
dt = 1
On retrouve l'expression (5.66) du principe du dommage cumulatif.
Ainsi, la condition de séparation (5.72) est susante pour que s'applique le
principe du dommage cumulatif. On peut d'ailleurs montrer que cette condition
est également nécessaire [17].