5.7. CONTRAINTES OSCILLATOIRES D'AMPLITUDE VARIABLE
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5.7.3 Courbes iso-dommage
S'il existe une variable exprimant le dommage physique en fonction de la
contrainte et du nombre de cycles, on doit pouvoir tracer des iso-dommages
dans le plan (σ, n) de la courbe de Wöhler. Toute fonction constante sur ces
iso-dommages et permettant de les échelonner de façon croissante jusqu'à la
courbe de Wöhler où elle vaut l'unité, peut être considérée comme une mesure
valable du dommage. Une hypothèse simple est d'écrire que si à la durée de vie
n correspond sur la courbe de Wöhler une contrainte σ = S(n), le dommage
peut s'exprimer par l'inverse de la sécurité, soit
δ =
σ
S(n)
(5.77)
Envisageons, dans ce cadre le cas d'une courbe de Wöhler de la forme
S(n) = σ as + kn
−α
(5.78)
qui est souvent admise. On a alors
δ =
σ
σ as + kn −α
(5.79)
En un point du plan, la donnée de la contrainte et du dommage permet de
déduire n par inversion de la relation précédente, ce qui donne
n = k
1/α
σ
δ
− σ as
−1/α
(5.80)
On a alors
dδ
dn
= −
σ
(σ as + kn −α )
2
−αkn
−α−1
=
δ
2
σ
αkk
−1−
1
α
σ
δ
− σ as
1+
1
α
= αk
−1/α δ
1−
1
α σ
1/α
1 −
σ as δ
σ
1+
1
α
(5.81)
On constate que cette fonction n'est séparée (condition de validité du dommage
cumulatif) que si la limite d'endurance asymptotique est nulle, ce qui est le cas
des roulements, de certains alliages d'aluminium, mais non des aciers.
Pratiquement, si un matériau présente une limite d'endurance raisonnablement grande, ce qui est le cas des aciers, il n'est guère opportun de faire un
calcul en durée de vie nie. Ce n'est que lorsque la limite d'endurance est très
faible ou nulle que le problème se pose et dans ce cas, le principe du dommage
cumilatif est la seule approche simple du problème.
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5.7.3 Courbes iso-dommage
S'il existe une variable exprimant le dommage physique en fonction de la
contrainte et du nombre de cycles, on doit pouvoir tracer des iso-dommages
dans le plan (σ, n) de la courbe de Wöhler. Toute fonction constante sur ces
iso-dommages et permettant de les échelonner de façon croissante jusqu'à la
courbe de Wöhler où elle vaut l'unité, peut être considérée comme une mesure
valable du dommage. Une hypothèse simple est d'écrire que si à la durée de vie
n correspond sur la courbe de Wöhler une contrainte σ = S(n), le dommage
peut s'exprimer par l'inverse de la sécurité, soit
δ =
σ
S(n)
(5.77)
Envisageons, dans ce cadre le cas d'une courbe de Wöhler de la forme
S(n) = σ as + kn
−α
(5.78)
qui est souvent admise. On a alors
δ =
σ
σ as + kn −α
(5.79)
En un point du plan, la donnée de la contrainte et du dommage permet de
déduire n par inversion de la relation précédente, ce qui donne
n = k
1/α
σ
δ
− σ as
−1/α
(5.80)
On a alors
dδ
dn
= −
σ
(σ as + kn −α )
2
−αkn
−α−1
=
δ
2
σ
αkk
−1−
1
α
σ
δ
− σ as
1+
1
α
= αk
−1/α δ
1−
1
α σ
1/α
1 −
σ as δ
σ
1+
1
α
(5.81)
On constate que cette fonction n'est séparée (condition de validité du dommage
cumulatif) que si la limite d'endurance asymptotique est nulle, ce qui est le cas
des roulements, de certains alliages d'aluminium, mais non des aciers.
Pratiquement, si un matériau présente une limite d'endurance raisonnablement grande, ce qui est le cas des aciers, il n'est guère opportun de faire un
calcul en durée de vie nie. Ce n'est que lorsque la limite d'endurance est très
faible ou nulle que le problème se pose et dans ce cas, le principe du dommage
cumilatif est la seule approche simple du problème.