5.7. CONTRAINTES OSCILLATOIRES D'AMPLITUDE VARIABLE
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On peut généraliser ce critère au cas où la sollicitation change constamment
en fonction du temps. Alors, à un intervalle de temps ]t, t + dt[ correspond une
sollicitation σ M (t) pour laquelle la durée de vie vaut N (σ M (t)). L'incrément de
dommage pendant cet intervalle vaut donc
dD =
1
N (σ M (t))
dn
dt
dt
donc, après un temps t
∗
, on aura le dommage
D(t
∗ ) =
t
∗
0
1
N (σ M (t))
dn
dt
dt
et, selon le critère de Palmgren, la rupture surviendra lorsque ce dommage
vaudra l'unité. Si l'on note T la durée de vie exprimée en temps, on aura donc
D(T ) =
T
0
1
N (σ M (t))
dn
dt
dt
(5.66)
On remarquera du reste que, selon le critère de Palmgren, l'ordre dans lequel se succèdent les sollicitations n'a pas d'importance. Or, on peut souvent
admettre que sur une période assez longue T , on pourra associer une densité de
probabilité p(σ M ) à tout σ M > 0, avec, bien entendu, la condition de normalisation
∞
0
p(σ M )dσ M = 1
(5.67)
Si à cette période correspond un nombre de cycles total N , il y aura donc
N p(σ M )dσ M cycles sous une contrainte maximale comprise entre σ M et σ M +
dσ M . À ces cycles correspond le dommage élémentaire
dD =
N p(σ M )dσ M
N (σ M )
Dès lors, à la n d'une période, on a le dommage
D(T ) = N
∞
0
p(σ M )
N (σ M )
dσ M
(5.68)
ou, ce qui revient au même, le taux moyen d'accroissement du dommage vaut
˙
D =
D
T
=
N
T
∞
0
p(σ M )
N (σ M )
dσ M
(5.69)
La mise hors service aura donc lieu après une durée de vie T qui peut s'évaluer
par la condition
˙
DT = 1
soit
T =
1
˙
D
(5.70)