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CHAPITRE 4. ESSAIS MÉCANIQUES DES MATÉRIAUX
La vibration est caractérisée par un échange constant entre ces deux énergies,
l'une étant maximale quand l'autre est nulle. On a donc
V max = T max
ce qui donne la relation suivante pour la pulsation propre ω :
ω
2 =
π
2
2
E
ρ
(4.5)
Connaissant la fréquence propre ν P =
ω
2π , on peut donc déduire le module de
Young par la relation
E = ρ
ω
2
π 2
2 = 4ρν
2
p
2
(4.6)
Cette mesure est assez précise. Cependant, on peut lui reprocher une erreur de
principe. En eet, les vibrations sont des phénomènes rapides, si bien que la
chaleur n'a pas le temps de se propager au cours des oscillations. Le phénomène
est donc pratiquement adiabatique et le module de Young mesuré est le module
adiabatique
E ad =
∂
2 (énergie interne volumique)
∂ε 2
(4.7)
Au contraire, l'essai de traction est lent et on peut considérer qu'il est isotherme.
Le module de Young correspondant est le module isotherme
E is =
∂
2 (énergie libre volumique)
∂ε 2
(4.8)
et n'a aucune raison d'être égal au précédent. Cette question a fait l'objet de
longs débats au XIX
e
siècle, jusqu'à ce que Lord Kelvin démontre la relation
suivante : si α est le coecient de dilatation thermique, si c p est la chaleur
massique à contrainte constante et si T est la température absolue, on a
1
E ad
=
1
E is
−
α
2 T
ρc p
=
1
E is
1 −
E is α
2 T
ρc p
(4.9)
Prenons pour exemple un acier courant, pour lequel on peut admettre les valeurs
suivantes :
E is = 2, 1 · 10
11 P a
α = 1, 2 · 10
−5
ρ = 7800kg/m
3
c p = 450J/(K · kg)
à une température de 293K. Le groupe entre parenthèses de la formule de Kelvin
vaut alors
(. . .) =
1 − 2, 524 · 10
−3
ce qui donne une diérence de 0,25% entre les deux modules. Cette erreur systématique est bien inférieure à l'erreur de précision de l'évaluation du module de
Young à partir de la courbe de traction. Cependant, il faut encore tenir compte
des imprécisions sur ρ et , ce qui fait dire à l'O.T.U.A. (Oce Technique pour
l'Utilisation de l'Acier, France) qu'il est illusoire d'espérer une précision sur le
module de Young meilleure que 5%.
CHAPITRE 4. ESSAIS MÉCANIQUES DES MATÉRIAUX
La vibration est caractérisée par un échange constant entre ces deux énergies,
l'une étant maximale quand l'autre est nulle. On a donc
V max = T max
ce qui donne la relation suivante pour la pulsation propre ω :
ω
2 =
π
2
2
E
ρ
(4.5)
Connaissant la fréquence propre ν P =
ω
2π , on peut donc déduire le module de
Young par la relation
E = ρ
ω
2
π 2
2 = 4ρν
2
p
2
(4.6)
Cette mesure est assez précise. Cependant, on peut lui reprocher une erreur de
principe. En eet, les vibrations sont des phénomènes rapides, si bien que la
chaleur n'a pas le temps de se propager au cours des oscillations. Le phénomène
est donc pratiquement adiabatique et le module de Young mesuré est le module
adiabatique
E ad =
∂
2 (énergie interne volumique)
∂ε 2
(4.7)
Au contraire, l'essai de traction est lent et on peut considérer qu'il est isotherme.
Le module de Young correspondant est le module isotherme
E is =
∂
2 (énergie libre volumique)
∂ε 2
(4.8)
et n'a aucune raison d'être égal au précédent. Cette question a fait l'objet de
longs débats au XIX
e
siècle, jusqu'à ce que Lord Kelvin démontre la relation
suivante : si α est le coecient de dilatation thermique, si c p est la chaleur
massique à contrainte constante et si T est la température absolue, on a
1
E ad
=
1
E is
−
α
2 T
ρc p
=
1
E is
1 −
E is α
2 T
ρc p
(4.9)
Prenons pour exemple un acier courant, pour lequel on peut admettre les valeurs
suivantes :
E is = 2, 1 · 10
11 P a
α = 1, 2 · 10
−5
ρ = 7800kg/m
3
c p = 450J/(K · kg)
à une température de 293K. Le groupe entre parenthèses de la formule de Kelvin
vaut alors
(. . .) =
1 − 2, 524 · 10
−3
ce qui donne une diérence de 0,25% entre les deux modules. Cette erreur systématique est bien inférieure à l'erreur de précision de l'évaluation du module de
Young à partir de la courbe de traction. Cependant, il faut encore tenir compte
des imprécisions sur ρ et , ce qui fait dire à l'O.T.U.A. (Oce Technique pour
l'Utilisation de l'Acier, France) qu'il est illusoire d'espérer une précision sur le
module de Young meilleure que 5%.