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CHAPITRE 2. AVANT-PROJET D'UN ARBRE
on peut transformer le critère (2.3) en
σ
2
f + 3α
2 τ
2
t = σ
2
f,lim
(2.5)
ce qui, si l'on introduit la notion de contrainte idéale
σ i =
σ 2
f + 3α 2 τ 2
t
(2.6)
s'écrit simplement
σ i = σ f,lim
(2.7)
En service, on se limitera à une contrainte plus faible, c'est-à-dire que l'on
adoptera une pseudo-sécurité s
∗
et que l'on travaillera avec une contrainte admissible (jadis appelée taux de travail)
σ f,adm =
σ f,lim
s ∗
(2.8)
Si nous parlons de pseudo-sécurité, c'est parce que ce premier calcul ne tient pas
compte des concentrations de contrainte. Mais ces dernières ne pourront être déterminées que lorsqu'on aura entièrement dessiné l'arbre, ce qui est précisément
ce que nous nous attachons à faire. Il est clair qu'il faudra in ne vérier la
résistance de façon plus précise. Le critère provisoire est donc
σ i = σ f,adm
(2.9)
Multiplions les deux membres de la dénition (2.6) de la contrainte idéale
par
πd
3
32 . On a
πd
3
32
σ f = M f et
πd
3
32
τ t =
1
2
M t
Si l'on appelle encore moment idéal le moment déni par
M i =
πd
3
32
σ i
(2.10)
on a donc
M i =
M 2
f + 0, 75α 2 M 2
t
(2.11)
et le critère provisoire de résistance s'écrit
M i = M f,adm avec M f,adm =
πd
3
32
σ f,adm
(2.12)
Pour une sollicitation statique, à vérier par exemple quant au risque de
plastication, le critère de von Mises s'applique, ce qui correspond à α = 1. En
fatigue, il faut se référer à la limite d'endurance qui, pour les aciers, peut être
évaluée comme suit, en fonction de la limite de rupture R m : si σ min et σ M sont
respectivement la plus petite et la plus grande valeur de la contrainte lors d'un
cycle, notons
R f =
σ min
σ M
(2.13)
On peut admettre
σ f,lim ≈ R m
3
4
+
1
4
R f
(2.14)