9.4. FROTTEMENT DE LA VIS SUR L'ÉCROU
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On peut simplier cette expression en posant
tg ϕ
∗ = µ cos α
1 + tg
2 α + tg
2 β = µ
1 + tg
2 β cos 2 α
(9.1)
ce qui conduit au résultat 1
T
N
=
tg α + tg ϕ
∗
1 − tg α tg ϕ ∗ = tg(α + ϕ
∗ )
(9.2)
Le rendement de ce mécanisme, dans le sens direct que nous avons examiné,
est donné par
η direct =
N w
T u
=
tg α
tg(α + ϕ ∗ )
(9.3)
On remarquera qu'il est d'autant plus faible que ϕ
∗
est plus grand, ce dernier
augmentant si
le coecient de frottement µ augmente ;
l'angle β augmente ;
l'angle α diminue. 2
Examinons à présent le fonctionnement rétrograde du mécanisme, c'est-àdire celui où u et w sont négatifs. La relation entre u et w est inchangée, mais
la force de frottement change de sens, ce que l'on peut exprimer en changeant
le signe de ϕ
∗
. Il vient alors
T
N
= tg(α − ϕ
∗ )
(9.4)
Comme on peut le constater, le second membre n'est pas nécessairement positif.
Si α > ϕ
∗
, T est positif, ce qui revient à dire que la charge N est capable
de vaincre une réaction T positive. On dit alors que le mécanisme est
réversible.
Si α < ϕ
∗
, T est négatif, c'est-à-dire que le coin inférieur a besoin d'être
aidé pour se mouvoir. Sans cette aide, le mécanisme se coince. On dit alors
que le mécanisme est irréversible.
Si les deux angles sont égaux, le mécanisme est à la limite de réversibilité.
Le rendement rétrograde est donné par
η rétrograde =
T v
N u
=
tg(α − ϕ
∗ )
tg α
(9.5)
Il est positif si le mécanisme est réversible et négatif si le mécanisme est irréversible.
Lorsque le mécanisme est irréversible, on a tg(α + ϕ
∗ ) > tg 2α > 2 tg α, ce
qui implique que le rendement direct vérie
(η direct ) irréversible <
1
2
(9.6)
1. Remarque : Lorsque l'angle α est petit, on peut écrire
cos α ≈ 1,
1 + tg 2 β cos 2 α ≈
1 + tg 2 β =
1
cos β
ce qui donne
tg ϕ
∗ ≈
µ
cos β
formule qui est parfois, à tort, utilisée sans se soucier de la valeur de α.
2. Dans certaines limites. En fait, ϕ ∗ atteint un maximum pour un angle α un peu inférieur
à 45 ◦ .