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CHAPITRE 6. CONTACTS HERTZIENS
E et des coecients de Poisson ν des deux corps par la relation
2
E m
=
1 − ν
2
I
E I
+
1 − ν
2
II
E II
(6.10)
La théorie complète du problème fait intervenir des intégrales elliptiques et sort
largement du cadre du présent cours [22]. Mais on peut donner une expression
des formules de Hertz à la fois simple et facile à retenir, en recourant à l'analyse
dimensionnelle. Les données du problème ont les dimensions suivantes :
[P ] = F
[E m ] =
F
L 2
ρ
=
1
L
θ = 1
À part θ qui est sans dimension, il reste trois paramètres indépendants qui
dépendent de deux unités, ce qui ne permet de dénir qu'un seul autre nombre
sans dimension, à savoir
Π =
P (
ρ)
2
E m
(6.11)
que nous appellerons nombre de contact. La théorie montre que a, b et p H varient
dans la même proportion avec la charge et comme
P ∝ abp H ∝ Π
on a
a, b, p H ∝ Π
1/3
(6.12)
D'autre part, la géométrie du contact implique que h soit proportionnel à a
2
,
ce qui donne
h ∝ Π
2/3
(6.13)
Ceci posé, aux résultats a, b, h et p h , on associera de façon tout à fait naturelle
les nombres sans dimension a
ρ, b
ρ, h
ρ et p H /E m . Ceci mène à écrire
les formules de Hertz sans dimension suivantes :
a
ρ = k a (θ)Π
1/3
b
ρ = k b (θ)Π
1/3
p H
E m
= k p (θ)Π
1/3
(6.14)
h
ρ = k h (θ)Π
2/3
On trouvera, en pages CH2 et CH3 du Mémento des diagramme permettant de
déterminer les coecients k a , k b , k p , k h et l'angle θ en fonction du paramètre
e =
b
a .