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CHAPITRE 6. CONTACTS HERTZIENS
On se convainc aisément que le contact au point P n'est possible que si les deux
divergences sont non négatives,
ρ 1I + ρ 1II ≥ 0 et ρ 2I + ρ II ≥ 0
(6.4)
La nullité de la divergence dans une direction correspond à un contact linéaire
et la nullité des deux divergences caractérise un contact conforme.
Pour caractériser plus nement le contact, on utilise les deux grandeurs
suivantes :
La somme des courbures
ρ = (ρ 1I + ρ 1II ) + (ρ 2I + ρ 2II )
(6.5)
qui, du reste, est aussi la somme des divergences. En vertu des considérations qui précèdent, c'est un nombre positif.
La dissymétrie du contact
F (ρ) =
|(ρ 1I + ρ 1II ) − (ρ 2I + ρ 2II )|
ρ
(6.6)
qui appelle les commentaires suivants.
1. Tout d'abord, comme les deux divergences sont positives, leur diérence est, en grandeur, inférieure à leur somme. Donc
0 ≤ F (ρ) ≤ 1
(6.7)
2. Lorsque F (ρ) = 0, on a nécessairement
ρ 1I + ρ 1II = ρ 2I + ρ 2II
Les deux divergences sont donc identiques et tout se passe comme
dans le contact d'une sphère sur un plan : le contact est alors dit
sphérique.
3. A l'opposé, lorsque F (ρ) = 1, cela signie que
|(ρ 1I + ρ 1II ) − (ρ 2I + ρ 2II )| =
ρ = (ρ 1I + ρ 1II ) + (ρ 2I + ρ 2II )
On a donc, ou bien,
(ρ 1I + ρ 1II ) − (ρ 2I + ρ 2II ) = (ρ 1I + ρ 1II ) + (ρ 2I + ρ 2II )
ce qui implique
ρ 2I + ρ 2II = 0
ou bien,
−(ρ 1I + ρ 1II ) + (ρ 2I + ρ 2II ) = (ρ 1I + ρ 1II ) + (ρ 2I + ρ 2II )
ce qui implique
ρ 1I + ρ 1II = 0
Dans les deux cas, il s'agit d'un contact linéaire.
4. Entre ces deux extrêmes, on trouve les contacts ponctuels dissymétriques.
Tenant compte du fait que F (ρ) est toujours compris entre 0 et 1, il est de
tradition d'intoduire l'angle auxiliaire θ déni par
cos θ = F (ρ)
(6.8)
Il vaut π/2 pour un contact sphérique et 0 pour un contact linéaire.