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4 • Étude systématique des systèmes du premier et du second ordre
De toute évidence :
s∞ = K
On en déduit donc :
d % =
smax − s∞
s∞
× 100 = 100 × e
−
pj
√
1−j 2
4.5 La fonction de transfert du système a pour expression :
G( p) =
K
p
2
v
2
n
+
2p
vn
+ 1
avec E( p) =
1
p 2 , on a :
S( p) =
K
p 2
p
vn
+ 1
2 =
Kv
2
n
p 2 (p + vn)
2
Cette transformée de Laplace n’apparaît pas dans la table fournie en annexe. En revanche, on y trouve :
X( p) =
Kv
2
n
p (p + vn)
2
= K
v
2
n
p (p + vn)
2
⇒ x(t) = K − K (1 + vnt) e
−vnt
Comme S( p) =
X( p)
p
, on a :
s(t) =
x(t) dt
soit :
s(t) =
K dt −
K e
−vnt dt −
Kvnt e
−vnt dt
Intégrons :
s(t) = Kt +
K
vn
e
−vnt −
K
vn
1 − (1 + vnt) e
−vnt
+ C
te
d’où :
s(t) = Kt
1 + e
−vnt
+
2K
vn
e
−vnt −
K
vn
+ C
te
En considérant que s(0) = 0, on a :
s(0) =
K
vn
+ C
te = 0 ⇒ C
te = −
K
vn
Au final, on a donc :
s(t) = Kt
1 + e
−vnt
+
2K
vn
e
−vnt −
2K
vn
ou encore :
s(t) =
Kt −
2K
vn
+
Kt +
2K
vn
e
−vnt
Cette expression fait apparaître que le graphe de s(t) possède une asymptote d’équation y(t) = Kt −
2K
vn
lorsque
t → +∞. La courbe reste toujours au dessus de son asymptote étant donné que s(t) − y(t) est toujours positif. Pour
tracer la courbe avec plus de précision, il est possible d’invoquer sa dérivée, que l’on connaît déjà :
ds
dt
= x(t) = K − K e
−vnt −Kvnt e
−vnt