Solutions des exercices
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Par conséquent :
X =
2 − 4j
2 ±
4j 2 − 2
2 + 4
K 2 − 1
2
Une seule de ces solutions étant positive, on a :
vc0 = vn
2 − 4j 2 +
4j 2 − 2
2 + 4
K 2 − 1
2
Cette expression est valable quelle que soit la valeur de j.
Si on suppose, de surcroît, que K 1, on alors :
vc0 ≈ vn
2 − 4j 2 +
√
4K 2
2
≈ vn
2K
2
= vn
√
K
4.4 La réponse indicielle d’un tel système du second ordre, pour j < 1, a pour expression :
s(t) = Ku(t) − K e
−jvnt
cos vn
1 − j 2 t +
j
1 − j 2
sin vn
1 − j 2 t
Calculons la dérivée de cette fonction temporelle :
ds
dt
= Kjvn e
−jvnt
cos vn
1 − j 2 t +
j
1 − j 2
sin vn
1 − j 2 t
−K e
−jvnt
−vn
1 − j 2 sin vn
1 − j 2 t + jvn cos vn
1 − j 2 t
Soit :
ds
dt
= Kvn e
−jvnt
j
2
1 − j 2
+
1 − j 2
sin vn
1 − j 2 t
ou encore :
ds
dt
=
Kvn
1 − j 2
e
−jvnt sin vn
1 − j 2 t
Cette dérivée s’annule pour :
vn
1 − j 2 t = kp
Donc pour les valeurs :
tk =
kp
vn
1 − j 2
Le maximum que l’on cherche à identifier correspond à la valeur :
t1 =
p
vn
1 − j 2
Par conséquent :
smax = s (t1) = s
p
vn
1 − j 2
soit :
smax = K − K e
−
pj
√
1−j 2
cos p +
j
1 − j 2
sin p
d’où :
smax = K + K e
−
pj
√
1−j 2