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4 • Étude systématique des systèmes du premier et du second ordre
4.2 La réponse indicielle d’un tel système du second ordre, pour j > 1, a pour expression :
s(t) = K −
K
2
j 2 − 1
j +
j 2 − 1
e
−vn
j−
√
j 2 −1
t −
j −
j 2 − 1
e
−vn
j+
√
j 2 −1
t
Si on considère que j 1, on peut faire une approximation à l’ordre 1 de l’expression
j 2 − 1 :
j 2 − 1 = j
j 2 − 1
j 2 = j
1 −
1
j 2 ≈ j
1 −
1
2j 2
d’où :
s(t) ≈ K −
K
2j
2j e
−
v n t
2j −
1
2j
e
−2jvnt
Compte tenu de la définition du temps de réponse, on a :
0,95K = K −
K
2j
2j e
−
v n t r
2j −
1
2j
e
−2jvntr
soit :
0,1j = 2j e
−
v n t r
2j −
1
2j
e
−2jvntr
Par ailleurs :
j 1 ⇒ 2j e
−
v n t r
2j
1
2j
e
−2jvntr
d’où :
0,1j = 2j e
−
v n t r
2j
Par conséquent :
vntr
2j
= − ln 0,05 ⇒ tr = −
2j
vn
ln 0,05 =
6j
vn
4.3 La fonction de transfert en fréquence du système a pour expression :
G( jv) =
K
1 −
v
2
v
2
n
+
2jjv
vn
d’où :
G(v) =
K
1 −
v
2
v 2 n
2
+ 4j 2 v
2
v 2 n
Par définition :
G(vc0) =
K
1 −
v
2
c0
v 2 n
2
+ 4j 2 v
2
c0
v 2 n
= 1
soit :
1 −
v
2
c0
v 2 n
2
+ 4j
2 v
2
c0
v 2 n
= K
2
Posons X =
v
2
c0
v
2
n
:
X
2 +
4j
2 − 2
X + 1 − K
2 = 0
Résolvons cette équation :
D = b
2 − 4ac =
4j
2 − 2
2
+ 4
K
2 − 1
Comme K > 1, on a toujours D > 0.