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4 • Étude systématique des systèmes du premier et du second ordre
Cette égalité n’est possible que si 1 − 2j
2 > 0, autrement dit lorsque :
j <
√
2
2
Dans ce cas, il existe bien une pulsation v telle que le dénominateur de S( p) =
Kv
2
n
p (p − p 1 ) (p − p 2 )
soit
minimum (il est aisé de se rendre compte que cela ne peut correspondre à un maximum).
G(v) est donc maximal pour :
v = v r = v n
1 − 2j 2
Remplaçons v par v r dans l’expression de G(v) :
G max =
K
j 2 +
1 − 2j 2 −
1 − j 2
2
j 2 +
1 − 2j 2 +
1 − j 2
2
G max =
K
2
1 − j 2 −
1 − 2j 2
1 − j 2
1 − j 2 +
1 − 2j 2
1 − j 2
G max =
K
2
1 − j 2
2 −
1 − 2j 2
1 − j 2
G max =
K
2
1 − j 2
1 − j 2 − 1 + 2j 2
=
K
2j
1 − j 2
En résumé, si j <
√
2
2
, il existe une pulsation de résonance v r = v n
1 − 2j 2 pour laquelle le gain
présente un maximum G max =
K
2j
1 − j 2
.
On définit alors le coefficient ou facteur de résonance Q (ou de surtension) par le rapport du gain maximal sur le gain à l’origine :
Q =
G max
K
=
1
2j
1 − j 2
Plus la valeur du coefficient d’amortissement j est proche de 0, plus la pulsation de résonance se rapproche
de v n et plus le gain maximal est élevé.
Pour :
j = 0
on a :
v r = v n et G max → +∞
Le paramètre v n porte donc bien son nom de pulsation propre du système puisqu’elle est la pulsation à
laquelle peut se produire le phénomène de résonance le plus intense.
Si
√
2
2
< j < 1, le phénomène de résonance n’existe pas ; la courbe de gain est strictement décroissante
et reste constamment sous ses asymptotes. La figure 4.13 résume les différentes situations ainsi mises en