4.3 Étude des systèmes du second ordre
77
c) Cas où j est inférieur à 1
La fonction de transfert possède dans ce cas deux pôles complexes conjugués :
p 1 = −v n
j − j
1 − j 2
et p 2 = −v n
j + j
1 − j 2
On a toujours :
G( p) =
Kv
2
n
(p − p 1 ) (p − p 2 )
Les techniques étudiées au chapitre précédent ne permettent pas de déterminer un diagramme de gain
asymptotique. Les seules informations dont nous disposons, pour le moment, sont les deux directions
asymptotiques, respectivement pour v → 0 et pour v → +∞ (figure 4.8).
Nous savons également que :
G dB (v n ) = 20 log K − 20 log 2j
Cette expression laisse supposer que le gain, à la pulsation v n , peut être supérieur à 20 log K, puisque
20 log 2j peut être négatif. Nous pouvons alors facilement imaginer le phénomène qui est susceptible de se
produire : lorsque v varie de 0 à +∞,le gain peut croître de 20 log K à une valeur maximale, puis décroître
en rejoignant son asymptote de pente d’ordre −2.
Nous allons donc étudier ce phénomène, appelé phénomène de résonance, en déterminant la condition
d’apparition de ce phénomène, la pulsation v r pour laquelle le gain est maximal (rien ne prouve que le
maximum de la courbe de gain se produise pour v = v n ), ainsi que la valeur G max de ce gain maximum.
Soit :
p 1 = −v n
j − j
1 − j 2
et p 2 = −v n
j + j
1 − j 2
On a :
G( jv) =
Kv
2
n
jv + v n
j − j
1 − j 2
jv + v n
j + j
1 − j 2
d’où :
G(v) =
Kv
2
n
v 2
n j 2 +
v − v n
1 − j 2
2
v 2
n j 2 +
v + v n
1 − j 2
2
Cette expression est maximale lorsque son dénominateur est minimal, autrement dit lorsque :
d
dv
v
2
n j
2 +
v − v n
1 − j 2
2
v
2
n j
2 +
v + v n
1 − j 2
2
= 0
soit :
2
v + v n
1 − j 2
v
2
n j
2 +
v − v n
1 − j 2
2
+ 2
v − v n
1 − j 2
v
2
n j
2 +
v + v n
1 − j 2
2
= 0
v
2v
2
n j
2 +
v − v n
1 − j 2
2
+
v + v n
1 − j 2
2 − 4v
2
n
1 − j
2
= 0
v
2
n j
2 + v
2 + v
2
n
1 − j
2
− 2v
2
n
1 − j
2
= 0
v
2 = v
2
n
1 − 2j
2
77
c) Cas où j est inférieur à 1
La fonction de transfert possède dans ce cas deux pôles complexes conjugués :
p 1 = −v n
j − j
1 − j 2
et p 2 = −v n
j + j
1 − j 2
On a toujours :
G( p) =
Kv
2
n
(p − p 1 ) (p − p 2 )
Les techniques étudiées au chapitre précédent ne permettent pas de déterminer un diagramme de gain
asymptotique. Les seules informations dont nous disposons, pour le moment, sont les deux directions
asymptotiques, respectivement pour v → 0 et pour v → +∞ (figure 4.8).
Nous savons également que :
G dB (v n ) = 20 log K − 20 log 2j
Cette expression laisse supposer que le gain, à la pulsation v n , peut être supérieur à 20 log K, puisque
20 log 2j peut être négatif. Nous pouvons alors facilement imaginer le phénomène qui est susceptible de se
produire : lorsque v varie de 0 à +∞,le gain peut croître de 20 log K à une valeur maximale, puis décroître
en rejoignant son asymptote de pente d’ordre −2.
Nous allons donc étudier ce phénomène, appelé phénomène de résonance, en déterminant la condition
d’apparition de ce phénomène, la pulsation v r pour laquelle le gain est maximal (rien ne prouve que le
maximum de la courbe de gain se produise pour v = v n ), ainsi que la valeur G max de ce gain maximum.
Soit :
p 1 = −v n
j − j
1 − j 2
et p 2 = −v n
j + j
1 − j 2
On a :
G( jv) =
Kv
2
n
jv + v n
j − j
1 − j 2
jv + v n
j + j
1 − j 2
d’où :
G(v) =
Kv
2
n
v 2
n j 2 +
v − v n
1 − j 2
2
v 2
n j 2 +
v + v n
1 − j 2
2
Cette expression est maximale lorsque son dénominateur est minimal, autrement dit lorsque :
d
dv
v
2
n j
2 +
v − v n
1 − j 2
2
v
2
n j
2 +
v + v n
1 − j 2
2
= 0
soit :
2
v + v n
1 − j 2
v
2
n j
2 +
v − v n
1 − j 2
2
+ 2
v − v n
1 − j 2
v
2
n j
2 +
v + v n
1 − j 2
2
= 0
v
2v
2
n j
2 +
v − v n
1 − j 2
2
+
v + v n
1 − j 2
2 − 4v
2
n
1 − j
2
= 0
v
2
n j
2 + v
2 + v
2
n
1 − j
2
− 2v
2
n
1 − j
2
= 0
v
2 = v
2
n
1 − 2j
2