76
4 • Étude systématique des systèmes du premier et du second ordre
b) Cas où j est égal à 1
On a :
S( p) =
Kv
2
n
(p + v n )
2
Nous sommes en présence d’une pulsation de coupure double en v = v n . Le diagramme de Bode asymptotique de gain n’est donc constitué que des deux asymptotes déjà identifiées.
En ce qui concerne le diagramme de phase, il se déduit immédiatement du diagramme de gain.
On a par ailleurs :
G dB (v n ) = 20 log K − 20 log 2 = 20 log K − 6 dB
et toujours :
w(v n ) = −p/2
Les figures 4.11 et 4.12 présentent les deux diagrammes obtenus. Les esquisses des diagrammes réels
apparaissent en pointillé.
Figure 4.11 Diagramme de Bode d’un système du second ordre avec facteur
d’amortissement égal à 1.
Figure 4.12 Diagramme de phase d’un système du second ordre avec facteur
d’amortissement égal à 1.
On a, notamment :
w(v) = arg S( jv) = arg
Kv
2
n
(jv + v n )
2
soit :
w(v) = −2 arctan
v
v n
4 • Étude systématique des systèmes du premier et du second ordre
b) Cas où j est égal à 1
On a :
S( p) =
Kv
2
n
(p + v n )
2
Nous sommes en présence d’une pulsation de coupure double en v = v n . Le diagramme de Bode asymptotique de gain n’est donc constitué que des deux asymptotes déjà identifiées.
En ce qui concerne le diagramme de phase, il se déduit immédiatement du diagramme de gain.
On a par ailleurs :
G dB (v n ) = 20 log K − 20 log 2 = 20 log K − 6 dB
et toujours :
w(v n ) = −p/2
Les figures 4.11 et 4.12 présentent les deux diagrammes obtenus. Les esquisses des diagrammes réels
apparaissent en pointillé.
Figure 4.11 Diagramme de Bode d’un système du second ordre avec facteur
d’amortissement égal à 1.
Figure 4.12 Diagramme de phase d’un système du second ordre avec facteur
d’amortissement égal à 1.
On a, notamment :
w(v) = arg S( jv) = arg
Kv
2
n
(jv + v n )
2
soit :
w(v) = −2 arctan
v
v n