4.3 Étude des systèmes du second ordre
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Une première étude nous montre que : G( p) ≈ K lorsque p → 0 ; donc G(v) ≈ K lorsque v → 0.
Soit :
G dB = 20 log G(v) ≈ 20 log K
K est bien le gain à la fréquence nulle, autrement dit, le gain statique. De même, lorsque p → +∞, on a :
G( p) ≈
K
p
2
v
2
n
=
v
2
n K
p 2
Soit, pour v → +∞ :
G dB ≈ 20 log K + 40 log v n − 40 log v
Ces deux équivalents nous fournissent les deux asymptotes à la courbe, respectivement pour v → 0 et pour
v → +∞. Ces deux droites sont aisément placées dans le diagramme de Bode de la figure 4.8. On notera
qu’elles se coupent au point d’abscisse v = v n .
En effet, le point de concours des deux asymptotes est tel que :
20 log K + 40 log v n − 40 log v = 20 log K
Soit :
40 log v n − 40 log v = 0
d’où :
v = v n
Bien que très intéressants, ces éléments sont toutefois insuffisants pour tracer avec précision le diagramme
de gain complet. Il nous faut pour cela, réaliser une étude plus approfondie.
a) Cas où j est supérieur à 1
Les techniques étudiées au chapitre 3 ne nous ont appris à tracer des diagrammes de Bode que dans le cas
où la fonction de transfert est factorisée dans R ce qui n’est le cas que si j > 1. Alors, le dénominateur de
G( p) possède deux racines réelles négatives :
p 1 = −v n
j −
j 2 − 1
et p 2 = −v n
j 2 − 1
+ j
On a alors :
S( p) =
Kv
2
n
p (p − p 1 ) (p − p 2 )
Nous sommes alors en présence de deux pulsations de coupure, respectivement v 1 = −p 1 et v 2 = −p 2 .
Soit :
v 1 = v n
j −
j 2 − 1
et v 2 = v n
j 2 − 1
+ j
De plus :
v 1 < v n et v 2 > v n
Ces deux pulsations de coupure sont d’autant plus éloignées l’une de l’autre et de v n que j est grand.
Nous en savons désormais assez pour tracer le diagramme de Bode complet, tout du moins pour ce cas
j > 1 (figure 4.9).