4.3 Étude des systèmes du second ordre
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Attention : cette expression n’est valable que pour t > 0. Pour t < 0, le signal de sortie est bien
évidemment nul.
L’étude sommaire de cette fonction montre la présence d’une asymptote en K lorsque t → +∞ et une
tangente à l’origine nulle. Les deux termes en exponentielles décroissent d’autant plus lentement que j est
grand ; dans ce cas, le signal s(t) tend moins rapidement vers son asymptote. Le graphe de la figure 4.6
présente l’évolution de s(t) pour diverses valeurs de j.
Figure 4.6 Réponse indicielle d’un système du second ordre à coefficient
d’amortissement supérieur à 1
Remarque : la réponse la plus rapide est observée pour un facteur d’amortissement très proche de 1.
b) Discriminant nul
On a :
D = 0 ⇔ j = 1
La réponse a pour expression :
s(t) = Ku(t) − K (1 + v n t) e
−vnt
Comme cela était prévisible d’après l’étude menée précédemment, nous obtenons une réponse qui tend
très rapidement vers l’asymptote (voir figure 4.6).
c) Discriminant négatif
On a :
D < 0 ⇔ 0 < j < 1
On obtient cette fois :
s(t) = Ku(t) − Ke
−jvnt
cos v n
1 − j 2 t +
j
1 − j 2
sin v n
1 − j 2 t
Ou encore :
s(t) = Ku(t) −
K
1 − j 2
e
−jvnt
sin
v n
1 − j 2 t + arc tan
1 − j 2
j
Nous constatons que la réponse du système est constituée de la différence de deux signaux : le signal
Ku(t), échelon de hauteur K et un signal sinusoïdal encadré par une enveloppe en exponentielle décroissante,
qui tend donc vers 0 en oscillant.