70
4 • Étude systématique des systèmes du premier et du second ordre
4.3
ÉTUDE DES SYSTÈMES DU SECOND ORDRE
4.3.1 Mise en équation
Les systèmes du second ordre sont régis par des équations différentielles du second degré. Leur fonction
de transfert possède donc au maximum deux zéros et deux pôles. En physique, de tels systèmes sont très
nombreux et, en général, ils ne possèdent pas de zéro. L’équation la plus couramment rencontrée est donc
du type :
1
v
2
n
d
2 s
dt 2 +
2j
v n
ds
dt
+ s(t) = Ke(t)
Les trois constantes v n , j (prononcer ksi) et K sont des nombres réels en général positifs. v n est appelée
pulsation propre du système ; j est appelée coefficient ou facteur d’amortissement. K est le gain statique du
système. Ces appellations trouveront leur justification dans les résultats de l’étude que nous allons mener.
Remarque : Nous avons placé l’équation sous cette forme pour faire apparaître ces trois paramètres
dont l’importance sera bientôt mise en évidence.
La fonction de transfert du système se déduit immédiatement de l’équation différentielle qui régit son
fonctionnement en appliquant la transformation de Laplace aux deux membres :
p
2
v
2
n
S( p) +
2jp
v n
S( p) + S( p) = KE( p)
soit :
G( p) =
S( p)
E( p)
=
K
p
2
v 2
n
+
2jp
v n
+ 1
4.3.2 Réponse indicielle
On étudie la réponse du système à un échelon unitaire e(t) = u(t).
On a donc :
E(p) =
1
p
D’où :
S(p) =
G(p)
p
=
K
p
p
2
v 2
n
+
2jp
v n
+ 1
Pour calculer l’expression de s(t), il suffit d’invoquer la transformée de Laplace inverse à l’aide d’un
logiciel de calcul formel comme Mathematica. Trois cas sont à considérer selon le signe du discriminant du
polynôme du dénominateur.
On a :
D = b
2
− 4ac =
4j
2
v 2
n
−
4
v 2
n
=
4
v 2
n
j
2
− 1
a) Discriminant positif
On a :
D > 0 ⇔ j > 1
Dans ce cas, on a :
s(t) = Ku(t) −
K
2
j 2 − 1
j +
j 2 − 1
e
−vn
j−
√
j 2 −1
t −
j +
j 2 − 1
e
−vn
j+
√
j 2 −1
t