4.2 Étude des systèmes du premier ordre
69
X −
K
2
2
+ Y
2 =
K
2
1 − T
2 v
2
2 + 4K
2 Tv 2
2
4
1 + T 2 v 2
2
X −
K
2
2
+ Y
2 =
K
2
1 + T
4 v
4
− 2Tv 2
2
+ 4K
2 Tv 2
2
4
1 + T 2 v 2
2
X −
K
2
2
+ Y
2 =
K
2
1 + T
4 v
4 + 2Tv 2
2
4
1 + T 2 v 2
2
=
K
2
1 + T
2 v
2
2
4
1 + T 2 v 2
2 =
K
2
4
L’équation
X −
K
2
2
+ Y
2 =
K
2
4
correspond à un cercle de centre
K
2
; 0
et de rayon
K
2
. Toutefois, le
diagramme de Nyquist ne correspond pas au cercle entier.
En effet, on a :
Y =
−KTv
1 + T 2 v 2 < 0
Le diagramme est donc le demi-cercle de centre
K
2
; 0
et de rayon
K
2
correspondant au demi-plan Y < 0
(en trait plein sur la figure 4.5).
Im
Re
G( ) ~ 0
ω
w( ) ~ /2
ω −π
Figure 4.5 Diagramme de Nyquist d’un système du premier ordre.
Remarque : Trois points particuliers sont à considérer : le point de départ du lieu au point de coordonnées (K, 0) correspondant à la pulsation nulle, le point B correspondant à la pulsation de coupure à
−3 dB ; rappelons ici que :
G(1/T) =
K
√
2
⇔ 20 log G(1/T) = 20 log K − 3 dB
Enfin, le point O, point d’arrivée de la courbe lorsque v → +∞. Ces différents points peuvent également être repérés dans le diagramme de Bode.