4.2 Étude des systèmes du premier ordre
67
En effet :
S( p) =
1
p
K
p (1 + Tp)
Il suffit donc d’intégrer l’expression trouvée pour la réponse indicielle :
s(t) =
K
1 − e
−
t
T
dt =
K dt −
K e
−
t
T dt
s(t) = Kt + KT e
−
t
T + C
te
La constante est facilement calculable, puisque l’ordonnée à l’origine des temps est forcément nulle. On a
alors :
s(0) = KT + C
te = 0 ⇒ C
te = −KT
Finalement :
s(t) = K(t − T) + KT e
−
t
T
La forme de cette expression nous permet de mettre en évidence une asymptote oblique à la courbe de s(t).
En effet, le terme s(t) = KT e
−
t
T tendant vers 0 lorsque t tend vers l’infini, on a : s(t) ≈ K(t − T).
Comme le terme KT e
−
t
T est toujours strictement positif, la courbe se trouve en permanence au dessus
de son asymptote. Par ailleurs la tangente en 0 à la courbe nous est donnée par le calcul de la dérivée en
t = 0 :
ds
dt
= K
1 − e
−
t
T
⇒
ds
dt
(0) = 0
Il est donc facile, à partir de ces éléments, de tracer le graphe de s(t).
Figure 4.3 Réponse d’un système du premier ordre à une entrée en rampe.
4.2.5 Étude fréquentielle d’un système d’ordre 1
a) Diagramme de Bode
L’étude du diagramme de Bode d’un système de fonction de transfert G( p) =
K
1 + Tp
a été menée dans
le chapitre précédent. Nous nous limiterons ici à rappeler les principaux résultats obtenus (figure 4.4) et
étudierons le tracé du diagramme de Nyquist.
D’un point de vue physique, nous pouvons constater que le système possède un comportement sélectif
vis-à-vis des composantes de ses signaux d’entrée. Ce comportement qui consiste à amplifier les basses
fréquences et à atténuer les hautes fréquences est qualifié de passe-bas.
Sur le graphe de la figure 4.4, nous pouvons noter la présence d’une pulsation de coupure à 0 dB notée
v c0 en dessous de laquelle les composantes spectrales sont amplifiées (gain supérieur à 1) et au-delà de
laquelle elles sont atténuées (gain inférieur à 1).
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En effet :
S( p) =
1
p
K
p (1 + Tp)
Il suffit donc d’intégrer l’expression trouvée pour la réponse indicielle :
s(t) =
K
1 − e
−
t
T
dt =
K dt −
K e
−
t
T dt
s(t) = Kt + KT e
−
t
T + C
te
La constante est facilement calculable, puisque l’ordonnée à l’origine des temps est forcément nulle. On a
alors :
s(0) = KT + C
te = 0 ⇒ C
te = −KT
Finalement :
s(t) = K(t − T) + KT e
−
t
T
La forme de cette expression nous permet de mettre en évidence une asymptote oblique à la courbe de s(t).
En effet, le terme s(t) = KT e
−
t
T tendant vers 0 lorsque t tend vers l’infini, on a : s(t) ≈ K(t − T).
Comme le terme KT e
−
t
T est toujours strictement positif, la courbe se trouve en permanence au dessus
de son asymptote. Par ailleurs la tangente en 0 à la courbe nous est donnée par le calcul de la dérivée en
t = 0 :
ds
dt
= K
1 − e
−
t
T
⇒
ds
dt
(0) = 0
Il est donc facile, à partir de ces éléments, de tracer le graphe de s(t).
Figure 4.3 Réponse d’un système du premier ordre à une entrée en rampe.
4.2.5 Étude fréquentielle d’un système d’ordre 1
a) Diagramme de Bode
L’étude du diagramme de Bode d’un système de fonction de transfert G( p) =
K
1 + Tp
a été menée dans
le chapitre précédent. Nous nous limiterons ici à rappeler les principaux résultats obtenus (figure 4.4) et
étudierons le tracé du diagramme de Nyquist.
D’un point de vue physique, nous pouvons constater que le système possède un comportement sélectif
vis-à-vis des composantes de ses signaux d’entrée. Ce comportement qui consiste à amplifier les basses
fréquences et à atténuer les hautes fréquences est qualifié de passe-bas.
Sur le graphe de la figure 4.4, nous pouvons noter la présence d’une pulsation de coupure à 0 dB notée
v c0 en dessous de laquelle les composantes spectrales sont amplifiées (gain supérieur à 1) et au-delà de
laquelle elles sont atténuées (gain inférieur à 1).