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4 • Étude systématique des systèmes du premier et du second ordre
d’où :
S( p) = G( p) ·
1
p
=
K
p (1 + Tp)
On calcule facilement s(t) à partir de la table des transformées de Laplace :
s(t) = K
1 − e
−
t
T
La constante de temps du système peut une fois de plus être facilement mise en évidence sur le graphique
(figure 4.2). On remarquera ici aussi la position de la tangente à l’origine ainsi que l’asymptote en K lorsque
t tend vers l’infini.
Figure 4.2 Réponse indicielle d’un système du premier ordre.
On peut définir, à partir de ce graphe, le temps de réponse t r du système, par le temps au bout duquel la
sortie atteint sa valeur asymptotique (on dit aussi de sa valeur à l’infini) à 5 % près. Il est facile de vérifier
que ce temps de réponse est de l’ordre de 3T.
On a :
s(t r ) = K
1 − e
−
t r
T
= 0,95K
d’où :
1 − e
−
t r
T
= 0,95
Soit :
e
−
t r
T = 0,05
et finalement :
t r = −T ln 0,05 ≈ 3T
Par ailleurs :
s(T) = K
1 − e
−1
≈ 0,63K
4.2.4 Réponse à une entrée en rampe
On étudie maintenant la réponse du système à une rampe unitaire e(t) = v (t) = t. On a donc :
E( p) =
1
p 2
d’où :
S( p) = G( p) ·
1
p 2 =
K
p 2 (1 + Tp)
On remarque que cette expression est la transformée de Laplace d’une primitive de la sortie précédemment
calculée.