4.2 Étude des systèmes du premier ordre
65
La fonction de transfert du système se déduit immédiatement de l’équation différentielle qui régit son
fonctionnement en appliquant la transformation de Laplace aux deux membres :
TpS( p) + S( p) = KE( p)
soit :
G( p) =
S( p)
E( p)
=
K
1 + Tp
4.2.2 Réponse à une impulsion de Dirac
On étudie la réponse du système à une entrée e(t) = d(t). On a donc :
E( p) = 1
d’où :
S( p) = G( p) =
K
1 + Tp
La transformée de Laplace correspond très exactement à la fonction de transfert du système ce qui est la
particularité essentielle de la réponse impulsionnelle. On calcule facilement s(t) à partir de la table des
transformées de Laplace
s(t) =
K
T
e
−
t
T
La constante de temps du système, T (qui porte bien son nom) peut être mise en évidence très facilement
sur le graphique (figure 4.1). Comme dans toute fonction exponentielle décroissante, la tangente à l’origine
coupe l’asymptote (ici, l’axe des abscisses) au point d’abscisse T.
Figure 4.1 Réponse impulsionnelle d’un système du premier ordre.
Remarque : On peut noter qu’il existe une discontinuité (théorique) en t = 0. Dans la réalité physique,
cette discontinuité n’existe pas plus que l’impulsion de Dirac parfaite...
4.2.3 Réponse indicielle
On étudie la réponse du système à un échelon unitaire e(t) = u(t). On a donc :
E( p) =
1
p
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La fonction de transfert du système se déduit immédiatement de l’équation différentielle qui régit son
fonctionnement en appliquant la transformation de Laplace aux deux membres :
TpS( p) + S( p) = KE( p)
soit :
G( p) =
S( p)
E( p)
=
K
1 + Tp
4.2.2 Réponse à une impulsion de Dirac
On étudie la réponse du système à une entrée e(t) = d(t). On a donc :
E( p) = 1
d’où :
S( p) = G( p) =
K
1 + Tp
La transformée de Laplace correspond très exactement à la fonction de transfert du système ce qui est la
particularité essentielle de la réponse impulsionnelle. On calcule facilement s(t) à partir de la table des
transformées de Laplace
s(t) =
K
T
e
−
t
T
La constante de temps du système, T (qui porte bien son nom) peut être mise en évidence très facilement
sur le graphique (figure 4.1). Comme dans toute fonction exponentielle décroissante, la tangente à l’origine
coupe l’asymptote (ici, l’axe des abscisses) au point d’abscisse T.
Figure 4.1 Réponse impulsionnelle d’un système du premier ordre.
Remarque : On peut noter qu’il existe une discontinuité (théorique) en t = 0. Dans la réalité physique,
cette discontinuité n’existe pas plus que l’impulsion de Dirac parfaite...
4.2.3 Réponse indicielle
On étudie la réponse du système à un échelon unitaire e(t) = u(t). On a donc :
E( p) =
1
p