Chapitre 4
Étude systématique des systèmes
du premier et du second ordre
4.1
MÉTHODES D’ÉTUDE ET DÉFINITIONS
L’étude complète d’un système est composée de deux parties : son étude temporelle et son étude fréquentielle. En ce qui concerne l’étude temporelle, nous nous intéresserons ici à identifier les réponses s(t) des
systèmes étudiés à des signaux d’entrée e(t) relativement simples, appelés entrées canoniques, qui sont
l’impulsion de Dirac d(t), l’échelon unitaire u(t) et la rampe unitaire v (t).
La réponse d’un système à une impulsion de Dirac est appelée réponse impulsionnelle ; la réponse d’un
système à un échelon unitaire est appelé réponse indicielle.
Remarque : Rappelons que l’impulsion de Dirac reste un signal à la réalité toute théorique puisqu’il est
censé correspondre à une impulsion infiniment courte, infiniment haute et dont le produit de la durée
par la hauteur vaut 1. Toutefois, malgré l’impossibilité de créer de véritables impulsions de Dirac dans
la pratique, nous montrerons, dans les pages qui suivent, que l’étude impulsionnelle présente un intérêt
certain.
L’étude fréquentielle sera menée en construisant systématiquement les diagrammes de Bode et de
Nyquist des systèmes étudiés.
4.2
ÉTUDE DES SYSTÈMES DU PREMIER ORDRE
4.2.1 Mise en équation
Les systèmes du premier ordre sont régis par des équations différentielles du premier degré. Leur fonction
de transfert possède donc au maximum un zéro et un pôle. En physique, de tels systèmes sont très nombreux
et, en général, ils ne possèdent pas de zéro. L’équation la plus couramment rencontrée est donc du type :
T
ds
dt
+ s(t) = Ke(t)
Les deux constantes T et K sont des nombres réels en général positifs. T est appelée constante de temps du
système. K est appelée le gain statique. Ces deux appellations trouveront leur justification dans les résultats
de l’étude que nous allons mener.
Ces systèmes sont encore parfois appelés systèmes à une seule constante de temps.
Étude systématique des systèmes
du premier et du second ordre
4.1
MÉTHODES D’ÉTUDE ET DÉFINITIONS
L’étude complète d’un système est composée de deux parties : son étude temporelle et son étude fréquentielle. En ce qui concerne l’étude temporelle, nous nous intéresserons ici à identifier les réponses s(t) des
systèmes étudiés à des signaux d’entrée e(t) relativement simples, appelés entrées canoniques, qui sont
l’impulsion de Dirac d(t), l’échelon unitaire u(t) et la rampe unitaire v (t).
La réponse d’un système à une impulsion de Dirac est appelée réponse impulsionnelle ; la réponse d’un
système à un échelon unitaire est appelé réponse indicielle.
Remarque : Rappelons que l’impulsion de Dirac reste un signal à la réalité toute théorique puisqu’il est
censé correspondre à une impulsion infiniment courte, infiniment haute et dont le produit de la durée
par la hauteur vaut 1. Toutefois, malgré l’impossibilité de créer de véritables impulsions de Dirac dans
la pratique, nous montrerons, dans les pages qui suivent, que l’étude impulsionnelle présente un intérêt
certain.
L’étude fréquentielle sera menée en construisant systématiquement les diagrammes de Bode et de
Nyquist des systèmes étudiés.
4.2
ÉTUDE DES SYSTÈMES DU PREMIER ORDRE
4.2.1 Mise en équation
Les systèmes du premier ordre sont régis par des équations différentielles du premier degré. Leur fonction
de transfert possède donc au maximum un zéro et un pôle. En physique, de tels systèmes sont très nombreux
et, en général, ils ne possèdent pas de zéro. L’équation la plus couramment rencontrée est donc du type :
T
ds
dt
+ s(t) = Ke(t)
Les deux constantes T et K sont des nombres réels en général positifs. T est appelée constante de temps du
système. K est appelée le gain statique. Ces deux appellations trouveront leur justification dans les résultats
de l’étude que nous allons mener.
Ces systèmes sont encore parfois appelés systèmes à une seule constante de temps.