Solutions des exercices
63
Le signal de sortie s(t) est de toute évidence un signal à énergie finie puisque la transformée de Laplace inverse de S( p)
a pour expression :
s(t) = 10t e
−t
Par conséquent, les deux signaux possèdent chacun une transformée de Fourier et celles-ci sont liées par la relation :
S( jv) = G( jv)E( jv) =
10
(jv + 1)
2
Le spectre du signal de sortie est donc :
|S( jv)| =
10
v 2 + 1
3.9 Lorsque l’on injecte un signal d’entrée sinusoïdal dans un système linéaire, son signal de sortie est également
sinusoïdal, de même pulsation. Le rapport des amplitudes entre le signal de sortie et le signal d’entrée nous est donné
par la fonction G(v). La fonction w(v) nous donne le déphasage de la sinusoïde de sortie par rapport à celle d’entrée.
Si on pose :
e(t) = A cos vt et s(t) = B cos(vt + w)
on a :
B
A
= G(v) et w = arg G( jv)
Or :
G( jv) =
10 (jv + 10)
(jv + 1)
d’où :
G(v) = |G( jv) =|
10
√
v 2 + 100
√
v 2 + 1
et :
w(v) = arg G( jv) = arctan
v
10
− arctan v
Nous pouvons alors aisément calculer l’expression du signal de sortie dans les deux cas proposés.
Pour :
e(t) = 10 cos t
on a :
s(t) = 10G(1) cos [t + w(1)]
soit :
s(t) = 711 cos [t − 0,69]
Pour :
e(t) = 100 cos 1000t
on a :
s(t) = 100G(1000) cos [1000t + w(1000)]
soit :
s(t) ≈ 1000 cos [1000t]