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3 • Modélisation fréquentielle des systèmes linéaires continus
Le diagramme asymptotique de phase se déduit immédiatement du diagramme de gain en associant à chaque segment
de pente [n] une direction asymptotique de phase égale à np/2.
≈
≈
≈
≈ ∝
∝
Im
Re
Figure 3.30 Diagramme de Nyquist du système.
La meilleure technique, pour tracer le diagramme de Nyquist à partir du diagramme de Bode, consiste à considérer le
diagramme de phase :
Le déphasage w (v) varie entre −
p
2
et −2p. Dans le plan de Nyquist représenté sur la figure 3.29, cela correspond aux
trois secteurs grisés. Lorsque v = 0 (point de départ du lieu de Nyquist), ce déphasage vaut −
p
2
et le gain est infini.
Il faut, pour esquisser la courbe, imaginer une rotation autour du point O, ici entre −
p
2
et −2p et reporter, tout en
tournant, la valeur du gain. La courbe recherchée part du secteur grisé inférieur, coupe l’axe des réels, puis l’axe des
imaginaires et termine sa course au point O avec une tangente horizontale. En effet, lorsque w (v) varie entre −
p
2
et
−2p, le gain ne fait que décroître de l’infini à 0.
Pour démontrer l’existence d’une asymptote lorsque v → 0, calculons la fonction de transfert en fréquence :
G( jv) =
1000
jv (jv + 1)
2 (jv + 10)
Soit :
G( jv) = −
1000jv (−jv + 1)
2 (−jv + 10)
v 2
v 2 + 1
2
v 2 + 100
d’où :
Re [G( jv)] = −
20000 + 1000
1 − v
2
v 2 + 1
2
v 2 + 100
Cet équivalent nous montre que la partie réelle tend bien vers une valeur finie lorsque v → 0. La droite d’équation
X = −210 est asymptote à la courbe.
3.8 Nous pouvons résumer le modèle de fonctionnement du système par la relation :
S( p) = G( p)E( p) =
10
(p + 1)
2
Compte tenu que la transformée de Laplace du signal e(t) a pour expression :
E( p) =
1
p + 1
3 • Modélisation fréquentielle des systèmes linéaires continus
Le diagramme asymptotique de phase se déduit immédiatement du diagramme de gain en associant à chaque segment
de pente [n] une direction asymptotique de phase égale à np/2.
≈
≈
≈
≈ ∝
∝
Im
Re
Figure 3.30 Diagramme de Nyquist du système.
La meilleure technique, pour tracer le diagramme de Nyquist à partir du diagramme de Bode, consiste à considérer le
diagramme de phase :
Le déphasage w (v) varie entre −
p
2
et −2p. Dans le plan de Nyquist représenté sur la figure 3.29, cela correspond aux
trois secteurs grisés. Lorsque v = 0 (point de départ du lieu de Nyquist), ce déphasage vaut −
p
2
et le gain est infini.
Il faut, pour esquisser la courbe, imaginer une rotation autour du point O, ici entre −
p
2
et −2p et reporter, tout en
tournant, la valeur du gain. La courbe recherchée part du secteur grisé inférieur, coupe l’axe des réels, puis l’axe des
imaginaires et termine sa course au point O avec une tangente horizontale. En effet, lorsque w (v) varie entre −
p
2
et
−2p, le gain ne fait que décroître de l’infini à 0.
Pour démontrer l’existence d’une asymptote lorsque v → 0, calculons la fonction de transfert en fréquence :
G( jv) =
1000
jv (jv + 1)
2 (jv + 10)
Soit :
G( jv) = −
1000jv (−jv + 1)
2 (−jv + 10)
v 2
v 2 + 1
2
v 2 + 100
d’où :
Re [G( jv)] = −
20000 + 1000
1 − v
2
v 2 + 1
2
v 2 + 100
Cet équivalent nous montre que la partie réelle tend bien vers une valeur finie lorsque v → 0. La droite d’équation
X = −210 est asymptote à la courbe.
3.8 Nous pouvons résumer le modèle de fonctionnement du système par la relation :
S( p) = G( p)E( p) =
10
(p + 1)
2
Compte tenu que la transformée de Laplace du signal e(t) a pour expression :
E( p) =
1
p + 1