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3 • Modélisation fréquentielle des systèmes linéaires continus
La meilleure technique, pour tracer le diagramme de Nyquist à partir du diagramme de Bode, consiste à considérer le
diagramme de phase :
Le déphasage w (v) varie entre −
p
2
et −
3p
2
. Dans le plan de Nyquist représenté sur la figure 3.27, cela correspond
aux deux secteurs grisés. Lorsque v = 0 (point de départ du lieu de Nyquist), ce déphasage vaut −
p
2
et le gain est
infini. Il faut, pour esquisser la courbe, imaginer une rotation autour du point O, ici entre −
p
2
et −
3p
2
et reporter, tout
en tournant, la valeur du gain. La courbe recherchée part du secteur grisé inférieur, coupe l’axe des réels (w (v) = −p)
pour un gain déjà inférieur à 1 et termine sa course au point O avec une tangente verticale. En effet, lorsque w (v) varie
entre −
p
2
et −
3p
2
, le gain ne fait que décroître de l’infini à 0.
Pour démontrer l’existence d’une asymptote lorsque v → 0, calculons la fonction de transfert en fréquence :
G( jv) =
10
4
jv (jv + 10) (jv + 100)
Il convient de séparer la partie réelle et la partie imaginaire pour pouvoir faire une étude aux limites :
G( jv) =
10
4
jv (jv + 10) (jv + 100)
= −
10
4 jv (−jv + 10) (−jv + 100)
v 2
v 2 + 100
v 2 + 10 4
Soit :
G( jv) = −
10
4 jv
1000 − v
2 − 110jv
v 2
v 2 + 100
v 2 + 10 4
d’où :
G( jv) = −
10
4 × 110
v 2 + 100
v 2 + 10 4
− j
10
4
1000 − v
2
v
v 2 + 100
v 2 + 10 4
On vérifie bien que la partie imaginaire tend vers −∞, lorsque v → 0 et on montre que la partie réelle tend vers −1,1.
La droite d’équation X = −1,1 est donc asymptote à la courbe.
≈
→
≈
≈
∞
Im
Re
Figure 3.27 Diagramme de Nyquist du système.
3.7 Déterminons tout d’abord un équivalent du gain lorsque p tend vers 0 (c’est-à-dire lorsque v tend vers 0).
On a :
G( p) ≈
100
p
⇒ G(v) ≈
100
v
3 • Modélisation fréquentielle des systèmes linéaires continus
La meilleure technique, pour tracer le diagramme de Nyquist à partir du diagramme de Bode, consiste à considérer le
diagramme de phase :
Le déphasage w (v) varie entre −
p
2
et −
3p
2
. Dans le plan de Nyquist représenté sur la figure 3.27, cela correspond
aux deux secteurs grisés. Lorsque v = 0 (point de départ du lieu de Nyquist), ce déphasage vaut −
p
2
et le gain est
infini. Il faut, pour esquisser la courbe, imaginer une rotation autour du point O, ici entre −
p
2
et −
3p
2
et reporter, tout
en tournant, la valeur du gain. La courbe recherchée part du secteur grisé inférieur, coupe l’axe des réels (w (v) = −p)
pour un gain déjà inférieur à 1 et termine sa course au point O avec une tangente verticale. En effet, lorsque w (v) varie
entre −
p
2
et −
3p
2
, le gain ne fait que décroître de l’infini à 0.
Pour démontrer l’existence d’une asymptote lorsque v → 0, calculons la fonction de transfert en fréquence :
G( jv) =
10
4
jv (jv + 10) (jv + 100)
Il convient de séparer la partie réelle et la partie imaginaire pour pouvoir faire une étude aux limites :
G( jv) =
10
4
jv (jv + 10) (jv + 100)
= −
10
4 jv (−jv + 10) (−jv + 100)
v 2
v 2 + 100
v 2 + 10 4
Soit :
G( jv) = −
10
4 jv
1000 − v
2 − 110jv
v 2
v 2 + 100
v 2 + 10 4
d’où :
G( jv) = −
10
4 × 110
v 2 + 100
v 2 + 10 4
− j
10
4
1000 − v
2
v
v 2 + 100
v 2 + 10 4
On vérifie bien que la partie imaginaire tend vers −∞, lorsque v → 0 et on montre que la partie réelle tend vers −1,1.
La droite d’équation X = −1,1 est donc asymptote à la courbe.
≈
→
≈
≈
∞
Im
Re
Figure 3.27 Diagramme de Nyquist du système.
3.7 Déterminons tout d’abord un équivalent du gain lorsque p tend vers 0 (c’est-à-dire lorsque v tend vers 0).
On a :
G( p) ≈
100
p
⇒ G(v) ≈
100
v