Solutions des exercices
59
d’où :
G(vc0) =
K
√
5 2 + 1
√
5 2 + 10 4
= 1
On en déduit :
K =
√
25 + 1
√
25 + 10 4 = 511
3.6 Déterminons tout d’abord un équivalent du gain lorsque p tend vers 0 (c’est-à-dire lorsque v tend vers 0).
On a :
G( p) ≈
10
p
⇒ G(v) ≈
10
v
soit :
GdB = 20 log G(v) ∼ 20 dB − 20 log v
Nous pouvons donc tracer le premier segment asymptotique du diagramme de gain, valable entre 0 et la première
pulsation de coupure, c’est-à-dire v = 10 rad/s (figure 3.25). Il s’agit d’un segment de pente [−1] autrement dit
−20 dB/décade. La connaissance d’un point suffit donc pour tracer de segment, par exemple :
GdB(1) = 20 dB ou encore GdB(10) = 0 dB
Le premier segment asymptotique, sur l’intervalle [0, 10] possède donc une pente de −20 dB/décade et s’arrête au
point (10, 0 dB), comme indiqué sur la figure 3.25.
Au delà de la pulsation de coupure v = 10 rad/s, nous changeons de direction asymptotique ; comme le terme ( p + 10)
se trouve au dénominateur, la pente se décrémente d’une unité. Nous obtenons donc un segment de droite de pente
[−2]. Ce segment formant un graphe continu avec le segment précédent, il est facile à tracer et reste valable jusqu’à la
coupure suivante (v = 100 rad/s).
Figure 3.25 Diagramme de Bode de gain
du système.
Figure 3.26 Diagramme de Bode de
phase du système.
À partir de v = 100 rad/s, nous aurons une direction asymptotique de pente [−3] puisque le terme ( p + 100) se trouve
au dénominateur. Veillons à respecter la valeur de la pente : entre 100 et 1000 rad/s, par exemple, le gain chute de 60
dB (pente −60 dB/décade).
Le diagramme asymptotique de phase se déduit immédiatement du diagramme de gain en associant à chaque segment
de pente [n] une direction asymptotique de phase égale à np/2.
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d’où :
G(vc0) =
K
√
5 2 + 1
√
5 2 + 10 4
= 1
On en déduit :
K =
√
25 + 1
√
25 + 10 4 = 511
3.6 Déterminons tout d’abord un équivalent du gain lorsque p tend vers 0 (c’est-à-dire lorsque v tend vers 0).
On a :
G( p) ≈
10
p
⇒ G(v) ≈
10
v
soit :
GdB = 20 log G(v) ∼ 20 dB − 20 log v
Nous pouvons donc tracer le premier segment asymptotique du diagramme de gain, valable entre 0 et la première
pulsation de coupure, c’est-à-dire v = 10 rad/s (figure 3.25). Il s’agit d’un segment de pente [−1] autrement dit
−20 dB/décade. La connaissance d’un point suffit donc pour tracer de segment, par exemple :
GdB(1) = 20 dB ou encore GdB(10) = 0 dB
Le premier segment asymptotique, sur l’intervalle [0, 10] possède donc une pente de −20 dB/décade et s’arrête au
point (10, 0 dB), comme indiqué sur la figure 3.25.
Au delà de la pulsation de coupure v = 10 rad/s, nous changeons de direction asymptotique ; comme le terme ( p + 10)
se trouve au dénominateur, la pente se décrémente d’une unité. Nous obtenons donc un segment de droite de pente
[−2]. Ce segment formant un graphe continu avec le segment précédent, il est facile à tracer et reste valable jusqu’à la
coupure suivante (v = 100 rad/s).
Figure 3.25 Diagramme de Bode de gain
du système.
Figure 3.26 Diagramme de Bode de
phase du système.
À partir de v = 100 rad/s, nous aurons une direction asymptotique de pente [−3] puisque le terme ( p + 100) se trouve
au dénominateur. Veillons à respecter la valeur de la pente : entre 100 et 1000 rad/s, par exemple, le gain chute de 60
dB (pente −60 dB/décade).
Le diagramme asymptotique de phase se déduit immédiatement du diagramme de gain en associant à chaque segment
de pente [n] une direction asymptotique de phase égale à np/2.