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3 • Modélisation fréquentielle des systèmes linéaires continus
Soit :
log v2 + log v1 = 2 log 10 = log 100
d’où :
v2 =
100
v1
Pour démontrer la symétrie du diagramme de gain réel par rapport à la droite d’équation v = 10 rad/s, il faut que
l’expression du gain soit inchangée lorsque l’on change v en 100/v.
On peut également chercher à montrer que :
G
100
p
= G (p)
G
100
p
=
100
p
+ 1
100
p
+ 100
100
p
+ 10
2
Multiplions cette fonction, au numérateur comme au dénominateur, par p
2 .
On obtient :
G
100
p
=
(100 + p) (100 + 100p)
(100 + 10p)
2
=
100 (100 + p) (1 + p)
100 (10 + p)
2
= G( p)
La symétrie du diagramme réel est donc bien démontrée. Le gain maximal est donc obligatoirement obtenu pour
v = 10 rad/s.
On a donc :
Gmax =
√
100 + 1 ×
√
100 + 10 4
100 + 100
≈ 5
soit :
Gmax ≈ 20 log 5 ≈ 14 dB
Par ailleurs, la valeur du déphasage, pour v = 10 rad/s est définie par :
w (vmax) = arctan 10 + arctan
1
10
− 2 arctan 1 =
p
2
− 2 arctan 1 = 0
La connaissance de Gmax et celle du déphasage correspondant permettent d’esquisser le tracé réels des deux courbes
(figures 3.22 et 3.23).
3.5 Calculons l’expression du gain réel :
On considère le système de fonction de transfert G( p) définie par :
G( p) =
K
(p + 1) (p + 100)
⇒ G(v) =
K
√
v 2 + 1
√
v 2 + 10 4
Pour vc0, on a :
G(vc0) =
K
v
2
c0 + 1
v
2
c0 + 10 4
= 1
3 • Modélisation fréquentielle des systèmes linéaires continus
Soit :
log v2 + log v1 = 2 log 10 = log 100
d’où :
v2 =
100
v1
Pour démontrer la symétrie du diagramme de gain réel par rapport à la droite d’équation v = 10 rad/s, il faut que
l’expression du gain soit inchangée lorsque l’on change v en 100/v.
On peut également chercher à montrer que :
G
100
p
= G (p)
G
100
p
=
100
p
+ 1
100
p
+ 100
100
p
+ 10
2
Multiplions cette fonction, au numérateur comme au dénominateur, par p
2 .
On obtient :
G
100
p
=
(100 + p) (100 + 100p)
(100 + 10p)
2
=
100 (100 + p) (1 + p)
100 (10 + p)
2
= G( p)
La symétrie du diagramme réel est donc bien démontrée. Le gain maximal est donc obligatoirement obtenu pour
v = 10 rad/s.
On a donc :
Gmax =
√
100 + 1 ×
√
100 + 10 4
100 + 100
≈ 5
soit :
Gmax ≈ 20 log 5 ≈ 14 dB
Par ailleurs, la valeur du déphasage, pour v = 10 rad/s est définie par :
w (vmax) = arctan 10 + arctan
1
10
− 2 arctan 1 =
p
2
− 2 arctan 1 = 0
La connaissance de Gmax et celle du déphasage correspondant permettent d’esquisser le tracé réels des deux courbes
(figures 3.22 et 3.23).
3.5 Calculons l’expression du gain réel :
On considère le système de fonction de transfert G( p) définie par :
G( p) =
K
(p + 1) (p + 100)
⇒ G(v) =
K
√
v 2 + 1
√
v 2 + 10 4
Pour vc0, on a :
G(vc0) =
K
v
2
c0 + 1
v
2
c0 + 10 4
= 1