Solutions des exercices
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Figure 3.22 Diagramme de Bode de gain du système.
Figure 3.23 Diagramme de Bode de phase du système.
De toute évidence, le diagramme asymptotique de gain est symétrique par rapport à la droite d’équation v = 10 rad/s.
Il est néanmoins nécessaire de démontrer que le diagramme de Bode réel possède la même symétrie.
Pour ce faire considérons l’expression réelle du gain :
G( p) =
(p + 1) (p + 100)
(p + 10)
2
⇒ G(v) =
√
v 2 + 1
√
v 2 + 10 4
v 2 + 100
Pour démontrer la symétrie, il nous faut montrer que le gain pour une pulsation donnée v1 est égal au gain pour
la pulsation v2 qui lui est symétrique par rapport à v = 10 rad/s. Mais attention, nous sommes sur une échelle
logarithmique (figure 3.24).
Figure 3.24 Conditions de symétrie.
Par conséquent, la condition d’équidistance (v1 ↔ 10) et (10 ↔ v2) s’exprime de la manière suivante :
log 10 − log v1 = log v2 − log 10
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Figure 3.22 Diagramme de Bode de gain du système.
Figure 3.23 Diagramme de Bode de phase du système.
De toute évidence, le diagramme asymptotique de gain est symétrique par rapport à la droite d’équation v = 10 rad/s.
Il est néanmoins nécessaire de démontrer que le diagramme de Bode réel possède la même symétrie.
Pour ce faire considérons l’expression réelle du gain :
G( p) =
(p + 1) (p + 100)
(p + 10)
2
⇒ G(v) =
√
v 2 + 1
√
v 2 + 10 4
v 2 + 100
Pour démontrer la symétrie, il nous faut montrer que le gain pour une pulsation donnée v1 est égal au gain pour
la pulsation v2 qui lui est symétrique par rapport à v = 10 rad/s. Mais attention, nous sommes sur une échelle
logarithmique (figure 3.24).
Figure 3.24 Conditions de symétrie.
Par conséquent, la condition d’équidistance (v1 ↔ 10) et (10 ↔ v2) s’exprime de la manière suivante :
log 10 − log v1 = log v2 − log 10