50
3 • Modélisation fréquentielle des systèmes linéaires continus
3.4
DIAGRAMME DE NYQUIST
Le diagramme de Bode constitue un moyen très efficace et facile d’accès pour représenter graphiquement
le comportement fréquentiel d’un système. Toutefois, il est nécessaire de toujours effectuer deux graphes :
gain et déphasage.
Le diagramme de Nyquist permet d’obtenir une représentation graphique de ce comportement sur un
graphe unique. Plus délicat à tracer, il revêt néanmoins un intérêt primordial en automatique, comme nous
le verrons au chapitre 6 à propos de l’étude la stabilité des systèmes asservis.
3.4.1 Définition
Le diagramme de Nyquist, ou lieu de Nyquist d’un système est le lieu, en coordonnées polaires, des points
M de coordonnées G(v) et w(v) lorsque v varie de 0 à +∞ (figure 3.14).
Im
Im
Re
Re
Figure 3.14 Définition du diagramme de Nyquist.
C’est aussi le lieu, dans le plan complexe, des points d’affixe G( jv), donc de coordonnées Re [G( jv)],
Im [G( jv)] dans ce plan.
Il est d’usage d’orienter le graphe dans le sens des v croissants et parfois, de graduer la courbe en v.
3.4.2 Méthode de tracé rapide
On peut certes, pour tracer le diagramme de Nyquist d’un système, réaliser l’étude complète en coordonnées
polaires du lieu des points M de coordonnées G(v) et w(v) lorsque v varie de 0 à +∞, voire même faire
cette étude en coordonnées cartésiennes paramétrées Re [G( jv)], Im [G( jv)].
On peut néanmoins réaliser un tracé sommaire d’un lieu de Nyquist quelconque à partir du diagramme
de Bode en reportant dans le plan complexe, du mieux possible et en balayant les axes des pulsations de 0
à +∞, chaque couple de points G(v) et w(v) relevés respectivement sur le diagramme de Bode de gain et
sur celui de phase.
Reprenons l’exemple traité précédemment avec :
G( p) =
1000( p + 1)
( p + 10) 2
Les figures 3.12 et 3.13 présentent les fonctions G(v) et w(v) lorsque v varie de 0 à +∞. Nous pouvons
déjà placer dans le plan complexe le point de départ du lieu de Nyquist, en relevant, dans les diagrammes
de Bode, les valeurs du gain et du déphasage pour v = 0.
On a :
G(0) = 10 et w(0) = 0
Soit A ce point de départ.
3 • Modélisation fréquentielle des systèmes linéaires continus
3.4
DIAGRAMME DE NYQUIST
Le diagramme de Bode constitue un moyen très efficace et facile d’accès pour représenter graphiquement
le comportement fréquentiel d’un système. Toutefois, il est nécessaire de toujours effectuer deux graphes :
gain et déphasage.
Le diagramme de Nyquist permet d’obtenir une représentation graphique de ce comportement sur un
graphe unique. Plus délicat à tracer, il revêt néanmoins un intérêt primordial en automatique, comme nous
le verrons au chapitre 6 à propos de l’étude la stabilité des systèmes asservis.
3.4.1 Définition
Le diagramme de Nyquist, ou lieu de Nyquist d’un système est le lieu, en coordonnées polaires, des points
M de coordonnées G(v) et w(v) lorsque v varie de 0 à +∞ (figure 3.14).
Im
Im
Re
Re
Figure 3.14 Définition du diagramme de Nyquist.
C’est aussi le lieu, dans le plan complexe, des points d’affixe G( jv), donc de coordonnées Re [G( jv)],
Im [G( jv)] dans ce plan.
Il est d’usage d’orienter le graphe dans le sens des v croissants et parfois, de graduer la courbe en v.
3.4.2 Méthode de tracé rapide
On peut certes, pour tracer le diagramme de Nyquist d’un système, réaliser l’étude complète en coordonnées
polaires du lieu des points M de coordonnées G(v) et w(v) lorsque v varie de 0 à +∞, voire même faire
cette étude en coordonnées cartésiennes paramétrées Re [G( jv)], Im [G( jv)].
On peut néanmoins réaliser un tracé sommaire d’un lieu de Nyquist quelconque à partir du diagramme
de Bode en reportant dans le plan complexe, du mieux possible et en balayant les axes des pulsations de 0
à +∞, chaque couple de points G(v) et w(v) relevés respectivement sur le diagramme de Bode de gain et
sur celui de phase.
Reprenons l’exemple traité précédemment avec :
G( p) =
1000( p + 1)
( p + 10) 2
Les figures 3.12 et 3.13 présentent les fonctions G(v) et w(v) lorsque v varie de 0 à +∞. Nous pouvons
déjà placer dans le plan complexe le point de départ du lieu de Nyquist, en relevant, dans les diagrammes
de Bode, les valeurs du gain et du déphasage pour v = 0.
On a :
G(0) = 10 et w(0) = 0
Soit A ce point de départ.