3.2 Diagrammes de Bode
43
Pour v → 0, on a :
G(v) → K ⇒ 20 log G(v) → 20 log K
Ceci correspond à une asymptote horizontale.
Pour v → +∞, on a :
G(v) ≈
K
Tv
⇒ 20 log G(v) ≈ 20 log K − 20 log T − 20 log v
Cet équivalent de la fonction G(v) pour v → +∞ correspond à une droite puisque l’échelle des abscisses est
logarithmique. Cette droite coupe l’autre asymptote au point d’abscisse v =
1
T
, coupe l’axe des abscisses
au point v =
K
T
et possède une pente de - 20 dB/décade, ce qui signifie que le gain chute de 20 dB lorsque
la pulsation est multipliée par 10. Nous allons vite nous rendre compte que dans un diagramme de Bode, les
asymptotes ne peuvent prendre pour pente que les valeurs multiples de 20 dB/décade. Ce « 20 dB/décade »
est donc en quelque sorte l’unité élémentaire de pente. Nous appellerons pente d’ordre n, une pente égale à
20n dB/décade.
Compte tenu de l’effet « lissant » du logarithme, la courbe réelle reste longtemps proche de ses asymptotes (qui par conséquent constituent une approximation suffisante du graphe). Pour s’en convaincre, il suffit
de calculer la vraie valeur du gain pour la pulsation v =
1
T
:
G
1
T
=
K
√
1 + 1
=
K
√
2
⇒ 20 log G
1
T
= 20 log K − 3 dB
Le point en question se trouve donc à 3 dB en dessous du gain statique (voir figure 3.3). La pulsation v =
1
T
est appelée pulsation de coupure.
En ce qui concerne la courbe de déphasage, remarquons qu’il s’agit d’une fonction arctangente et que :
– pour v → 0, on a :
w(v) → 0
– pour v → +∞, on a :
w(v) → −
p
2
On a, par ailleurs :
w
1
T
= −
p
4
Il n’est bien sûr pas question ici d’assimiler les asymptotes (en trait plein) à la courbe (en trait pointillé).
On notera que la valeur asymptotique du déphasage vaut 0 sur l’intervalle de pulsations où la direction
asymptotique du gain correspond à une pente d’ordre 0, tandis qu’elle vaut −p/2 lorsque la direction
asymptotique du gain correspond à une pente d’ordre −1. Il s’agit là d’une règle générale :
La direction asymptotique de phase se déduit immédiatement du diagramme de gain en multipliant
l’ordre de la pente par p/2.
Remarque : Les deux intérêts fondamentaux du choix du tracé logarithmique apparaissent clairement
au travers de cet exemple : grâce à ce type de tracé, la courbe possède des droites asymptotes qui n’apparaîtraient pas dans un tracé cartésien classique. Par ailleurs, l’effet lissant de la fonction logarithme
permet de considérer que la courbe réelle se trouve « longtemps » très proche de ses asymptotes. Par
conséquent, nous pourrons très souvent nous contenter d’un tracé asymptotique du diagramme de Bode
de gain, la plupart du temps suffisant pour obtenir une idée assez fine du comportement fréquentiel du
système étudié.
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Pour v → 0, on a :
G(v) → K ⇒ 20 log G(v) → 20 log K
Ceci correspond à une asymptote horizontale.
Pour v → +∞, on a :
G(v) ≈
K
Tv
⇒ 20 log G(v) ≈ 20 log K − 20 log T − 20 log v
Cet équivalent de la fonction G(v) pour v → +∞ correspond à une droite puisque l’échelle des abscisses est
logarithmique. Cette droite coupe l’autre asymptote au point d’abscisse v =
1
T
, coupe l’axe des abscisses
au point v =
K
T
et possède une pente de - 20 dB/décade, ce qui signifie que le gain chute de 20 dB lorsque
la pulsation est multipliée par 10. Nous allons vite nous rendre compte que dans un diagramme de Bode, les
asymptotes ne peuvent prendre pour pente que les valeurs multiples de 20 dB/décade. Ce « 20 dB/décade »
est donc en quelque sorte l’unité élémentaire de pente. Nous appellerons pente d’ordre n, une pente égale à
20n dB/décade.
Compte tenu de l’effet « lissant » du logarithme, la courbe réelle reste longtemps proche de ses asymptotes (qui par conséquent constituent une approximation suffisante du graphe). Pour s’en convaincre, il suffit
de calculer la vraie valeur du gain pour la pulsation v =
1
T
:
G
1
T
=
K
√
1 + 1
=
K
√
2
⇒ 20 log G
1
T
= 20 log K − 3 dB
Le point en question se trouve donc à 3 dB en dessous du gain statique (voir figure 3.3). La pulsation v =
1
T
est appelée pulsation de coupure.
En ce qui concerne la courbe de déphasage, remarquons qu’il s’agit d’une fonction arctangente et que :
– pour v → 0, on a :
w(v) → 0
– pour v → +∞, on a :
w(v) → −
p
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On a, par ailleurs :
w
1
T
= −
p
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Il n’est bien sûr pas question ici d’assimiler les asymptotes (en trait plein) à la courbe (en trait pointillé).
On notera que la valeur asymptotique du déphasage vaut 0 sur l’intervalle de pulsations où la direction
asymptotique du gain correspond à une pente d’ordre 0, tandis qu’elle vaut −p/2 lorsque la direction
asymptotique du gain correspond à une pente d’ordre −1. Il s’agit là d’une règle générale :
La direction asymptotique de phase se déduit immédiatement du diagramme de gain en multipliant
l’ordre de la pente par p/2.
Remarque : Les deux intérêts fondamentaux du choix du tracé logarithmique apparaissent clairement
au travers de cet exemple : grâce à ce type de tracé, la courbe possède des droites asymptotes qui n’apparaîtraient pas dans un tracé cartésien classique. Par ailleurs, l’effet lissant de la fonction logarithme
permet de considérer que la courbe réelle se trouve « longtemps » très proche de ses asymptotes. Par
conséquent, nous pourrons très souvent nous contenter d’un tracé asymptotique du diagramme de Bode
de gain, la plupart du temps suffisant pour obtenir une idée assez fine du comportement fréquentiel du
système étudié.