42
3 • Modélisation fréquentielle des systèmes linéaires continus
Cette fonction correspond au déphasage, à la pulsation v donnée, entre la sinusoïde de sortie et celle
d’entrée.
Au final, la fonction G( jv), que l’on appelle fonction de transfert en fréquence (ou gain complexe du
système), nous fournit le gain réel |G( jv)| et le déphasage w(v) = arg G( jv) induit par le système vis-à-vis
des composantes sinusoïdales. Elle traduit donc le comportement fréquentiel du système.
3.2
DIAGRAMMES DE BODE
3.2.1 Définition
Les diagrammes de Bode consistent à tracer deux graphes correspondant respectivement au gain réel et au
déphasage. Pour la courbe de gain, on ne trace pas directement G(v) mais G dB = 20 log G(v) défini comme
le gain en décibels et, de surcroît, avec une échelle logarithmique en abscisse (figure 3.2).
Outre les raisons historiques qui ont présidé à ce choix, il existe deux intérêts essentiels au choix du
tracé logarithmique du gain, intérêts que nous mettrons en évidence dans les pages qui suivent.
L’axe des ordonnées est bien évidemment gradué en décibels. Un gain réel G(v) supérieur à 1 correspond à un gain en décibels positif tandis qu’un gain réel inférieur à 1 correspond à un gain en décibels
négatif. On a bien sûr 20 log G(v) = 0 dB pour G(v) = 1.
En règle générale, on porte directement les valeurs de v sur l’axe des abscisses en respectant l’échelle
logarithmique et en plaçant la pulsation v = 1 à l’origine de cet axe (puisqu’elle correspond à log v = 0.
On notera également que la pulsation v = 0 ne peut apparaître sur l’axe qu’en « moins l’infini ».
Figure 3.2 Échelle logarithmique du diagramme de Bode.
3.2.2 Exemple : diagramme de Bode d’un système
du premier ordre
Considérons un système de fonction de transfert G( p) =
K
1 + Tp
.
K et T sont deux constantes positives. K est le gain statique du système, T sa constante de temps. Nous
justifierons plus loin ces dénominations.
On a :
G( jv) =
K
1 + jTv
d’où :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
G(v) =
K
√
1 + T 2 v 2
w(v) = − arctan Tv
Contentons-nous d’une étude sommaire de ces fonctions.
3 • Modélisation fréquentielle des systèmes linéaires continus
Cette fonction correspond au déphasage, à la pulsation v donnée, entre la sinusoïde de sortie et celle
d’entrée.
Au final, la fonction G( jv), que l’on appelle fonction de transfert en fréquence (ou gain complexe du
système), nous fournit le gain réel |G( jv)| et le déphasage w(v) = arg G( jv) induit par le système vis-à-vis
des composantes sinusoïdales. Elle traduit donc le comportement fréquentiel du système.
3.2
DIAGRAMMES DE BODE
3.2.1 Définition
Les diagrammes de Bode consistent à tracer deux graphes correspondant respectivement au gain réel et au
déphasage. Pour la courbe de gain, on ne trace pas directement G(v) mais G dB = 20 log G(v) défini comme
le gain en décibels et, de surcroît, avec une échelle logarithmique en abscisse (figure 3.2).
Outre les raisons historiques qui ont présidé à ce choix, il existe deux intérêts essentiels au choix du
tracé logarithmique du gain, intérêts que nous mettrons en évidence dans les pages qui suivent.
L’axe des ordonnées est bien évidemment gradué en décibels. Un gain réel G(v) supérieur à 1 correspond à un gain en décibels positif tandis qu’un gain réel inférieur à 1 correspond à un gain en décibels
négatif. On a bien sûr 20 log G(v) = 0 dB pour G(v) = 1.
En règle générale, on porte directement les valeurs de v sur l’axe des abscisses en respectant l’échelle
logarithmique et en plaçant la pulsation v = 1 à l’origine de cet axe (puisqu’elle correspond à log v = 0.
On notera également que la pulsation v = 0 ne peut apparaître sur l’axe qu’en « moins l’infini ».
Figure 3.2 Échelle logarithmique du diagramme de Bode.
3.2.2 Exemple : diagramme de Bode d’un système
du premier ordre
Considérons un système de fonction de transfert G( p) =
K
1 + Tp
.
K et T sont deux constantes positives. K est le gain statique du système, T sa constante de temps. Nous
justifierons plus loin ces dénominations.
On a :
G( jv) =
K
1 + jTv
d’où :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
G(v) =
K
√
1 + T 2 v 2
w(v) = − arctan Tv
Contentons-nous d’une étude sommaire de ces fonctions.