40
2 • Modélisation fréquentielle des signaux temporels. Notion de spectre
2.8 L’énergie totale du signal, d’après son expression temporelle est :
E =
+∞
0
s
2 (t) dt =
+∞
0
e
−2at dt =
e
−2at
−2a
+∞
0
=
1
2a
Par ailleurs, la transformée de Fourier du signal s’obtient aisément (puisqu’il s’agit d’un signal à énergie finie), à partir
de sa transformée de Laplace :
S( p) =
1
p + a
⇒ S( jv) =
1
jv + a
On a donc :
|S( jv)| = |S( f )| =
1
√
v 2 + a 2
=
1
4p 2 f 2 + a 2
D’après l’égalité de Parseval, on doit avoir :
E =
+∞
−∞
|S( f )|
2 df
Calculons cette intégrale :
E =
1
4p 2
+∞
−∞
df
f 2 +
a
2p
2 =
1
4p 2
2p
a
arctan
4pf
a
+∞
−∞
E =
1
2pa
p
2
+
p
2
+∞
−∞
=
1
2a
Ce qui permet, effectivement, de vérifier l’égalité de Parseval.
2 • Modélisation fréquentielle des signaux temporels. Notion de spectre
2.8 L’énergie totale du signal, d’après son expression temporelle est :
E =
+∞
0
s
2 (t) dt =
+∞
0
e
−2at dt =
e
−2at
−2a
+∞
0
=
1
2a
Par ailleurs, la transformée de Fourier du signal s’obtient aisément (puisqu’il s’agit d’un signal à énergie finie), à partir
de sa transformée de Laplace :
S( p) =
1
p + a
⇒ S( jv) =
1
jv + a
On a donc :
|S( jv)| = |S( f )| =
1
√
v 2 + a 2
=
1
4p 2 f 2 + a 2
D’après l’égalité de Parseval, on doit avoir :
E =
+∞
−∞
|S( f )|
2 df
Calculons cette intégrale :
E =
1
4p 2
+∞
−∞
df
f 2 +
a
2p
2 =
1
4p 2
2p
a
arctan
4pf
a
+∞
−∞
E =
1
2pa
p
2
+
p
2
+∞
−∞
=
1
2a
Ce qui permet, effectivement, de vérifier l’égalité de Parseval.