Solutions des exercices
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avec :
s1(t) = sin at pour t 0
et :
s2(t) = sin at pour t
2p
a
Dans ces conditions :
S( p) = S1( p) − S2( p) =
a
a 2 + p 2
1 − e
−
2pp
a
Le signal s(t) étant à énergie finie, on en déduit l’expression de la transformée de Fourier :
S( jv) =
a
a 2 − v 2
1 − e
−
j2pv
a
ou encore :
S( jv) =
a
a 2 − v 2
1 − cos
2pv
a
+ j sin
2pv
a
Ainsi, le spectre du signal a pour expression :
|S( jv)| =
a
a 2 − v 2
1 − cos
2pv
a
+ j sin
2pv
a
Soit :
|S( jv)| =
a
1 − cos
2pv
a
2
+ sin
2 2pv
a
|a 2 − v 2 |
=
a
2 − 2 cos
2pv
a
|a 2 − v 2 |
d’où :
|S( jv)| =
2a
sin
pv
a
|a 2 − v 2 |
Le tracé de ce spectre n’est pas immédiat. On peut procéder, soit à une étude complète de la fonction, soit (et c’est plus
facile) à un tracé point par point. Le résultat obtenu est présenté sur la figure 2.20. Il est à noter que le spectre n’est pas
défini pour v = a. Par ailleurs, le spectre est nul pour les fréquences telles que :
sin
pv
a
= 0 soit pour v = ka ou encore f =
ka
2p
De plus :
|S(0)| = 0
Figure 2.20 Spectre du signal.