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2 • Modélisation fréquentielle des signaux temporels. Notion de spectre
Figure 2.19 Signal dérivé.
x(t) peut être décomposé en quatre signaux : x(t) = x1(t) − x2(t) − x3(t) + x4(t) où x1, x2, x3 et x4 sont des échelons de
hauteur
1
b − a
respectivement retardés, par rapport à l’origine des temps, de −b, −a, a et b.
On a donc : x(t) =
1
b − a
[u (t + b) − u (t + a) − u (t − a) + u (t − b)].
On peut donc écrire, avec Mathematica :
FourierTransform
1/(b − a) × (UnitStep[t + b] − UnitStep[t + a] − UnitStep[t − a]
+UnitStep[t − b]) ,t, v,FourierParameters → {1, −1}
Ce qui donne comme résultat : X(jv) =
2
jv (b − a)
[cos vb − cos va]
On en déduit alors la transformée de Fourier du signal s(t) qui est aussi un signal à énergie finie :
S( jv) =
X( jv)
jv
= −
2
v 2 (b − a)
[cos vb − cos va]
ou encore :
S( jv) =
X( jv)
jv
=
4
v 2 (b − a)
sin
v (b + a)
2
sin
v (b − a)
2
Si on choisit de faire tendre b vers a, on retrouve le résultat de l’exercice 2.4 dans le cas particulier A = 1.
En effet, on a :
S( jv) =
2
v
sin
v (b + a)
2
sinc
v (b − a)
2
Soit, pour b = a :
S( jv) =
2
v
sin va = 2a sinc va
2.6 Le signal s(t) est un signal trapézoïdal pour lequel a = 0. On a donc :
S( jv) =
X( jv)
jv
=
2 [1 − cos vb]
v 2 b
2.7 Le signal s(t) peut se décomposer sous la forme d’une différence de deux signaux :
s(t) = s1(t) − s2(t)