Solutions des exercices
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En conclusion, il est possible, à partir d’un signal périodique composé d’une série d’impulsion (ce qui se réalise très
facilement par des montages électroniques en commutation), d’obtenir un signal pour lequel les harmoniques 2, 3 et
4 sont nuls. Le premier harmonique non nul, A5, ainsi que les suivants, possédant de faibles amplitudes, nous avons
affaire à un signal que l’on peut facilement transformer en une sinusoïde parfaite en filtrant ses harmoniques, ce qui est
d’autant plus facile que le premier harmonique non nul se trouve très éloigné de la fondamentale. Il s’agit là d’une des
méthodes utilisées pour générer des signaux sinusoïdaux sans avoir recours à des systèmes oscillants.
2.4 Le signal considéré est bien à énergie finie car il possède un début et une fin clairement identifiées. L’intégrale
définissant l’énergie ne peut qu’être finie.
Le signal s(t) peut être considéré comme la différence entre un échelon retardé d’un temps −a, soit s1(t) = u (t + a) et
un échelon retardé d’un temps a, soit s2(t) = u (t − a).
Soit : s(t) = s1(t) − s2(t) = A [u (t + a) − u (t − a)].
En ayant pris soin de définir a et A comme des paramètres, la commande Mathematica suivante nous donne immédiatement le résultat :
FourierTransform
A × UnitStep[t + a] − A × UnitStep[t − a], t, v, FourierParameters → {1, −1}
Résultat :
2A sin [av]
v
On fait apparaître une fonction sinus cardinal définie par sinc x =
sin x
x
.
Soit :
S( f ) = 2Aa sinc va = 2Aa sinc 2pfa
Figure 2.18 Spectre du signal.
Nous pouvons alors tracer aisément le spectre du signal (figure 2.18), autrement dit |S( f )| pour f variant de −∞ à +∞.
Ce tracé est facilité en remarquant que :
sinc x → 1 pour x → 0 ⇒ |S( f )| → 2aA pour f → 0
Par ailleurs :
|S( f )| = 0 pour 2pfa = kp ⇒ f =
k
2a
2.5 Le signal x(t) défini comme la dérivée du signal s(t) s’obtient graphiquement en considérant les pentes de son
graphe (figure 2.19).
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En conclusion, il est possible, à partir d’un signal périodique composé d’une série d’impulsion (ce qui se réalise très
facilement par des montages électroniques en commutation), d’obtenir un signal pour lequel les harmoniques 2, 3 et
4 sont nuls. Le premier harmonique non nul, A5, ainsi que les suivants, possédant de faibles amplitudes, nous avons
affaire à un signal que l’on peut facilement transformer en une sinusoïde parfaite en filtrant ses harmoniques, ce qui est
d’autant plus facile que le premier harmonique non nul se trouve très éloigné de la fondamentale. Il s’agit là d’une des
méthodes utilisées pour générer des signaux sinusoïdaux sans avoir recours à des systèmes oscillants.
2.4 Le signal considéré est bien à énergie finie car il possède un début et une fin clairement identifiées. L’intégrale
définissant l’énergie ne peut qu’être finie.
Le signal s(t) peut être considéré comme la différence entre un échelon retardé d’un temps −a, soit s1(t) = u (t + a) et
un échelon retardé d’un temps a, soit s2(t) = u (t − a).
Soit : s(t) = s1(t) − s2(t) = A [u (t + a) − u (t − a)].
En ayant pris soin de définir a et A comme des paramètres, la commande Mathematica suivante nous donne immédiatement le résultat :
FourierTransform
A × UnitStep[t + a] − A × UnitStep[t − a], t, v, FourierParameters → {1, −1}
Résultat :
2A sin [av]
v
On fait apparaître une fonction sinus cardinal définie par sinc x =
sin x
x
.
Soit :
S( f ) = 2Aa sinc va = 2Aa sinc 2pfa
Figure 2.18 Spectre du signal.
Nous pouvons alors tracer aisément le spectre du signal (figure 2.18), autrement dit |S( f )| pour f variant de −∞ à +∞.
Ce tracé est facilité en remarquant que :
sinc x → 1 pour x → 0 ⇒ |S( f )| → 2aA pour f → 0
Par ailleurs :
|S( f )| = 0 pour 2pfa = kp ⇒ f =
k
2a
2.5 Le signal x(t) défini comme la dérivée du signal s(t) s’obtient graphiquement en considérant les pentes de son
graphe (figure 2.19).