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2 • Modélisation fréquentielle des signaux temporels. Notion de spectre
On a :
|A1| = |A−1| =
2A
p
≈ 0,64A
|A3| = |A−3| =
2A
3p
≈ 0,21A
|A5| = |A−5| =
2A
5p
≈ 0,13A
|A7| = |A−7| =
2A
7p
≈ 0,09A
Tous les harmoniques pairs sont, bien évidemment, nuls, ce qui caractérise une propriété fondamentale du signal carré :
il ne possède que des harmoniques impairs. La valeur moyenne du signal, par ailleurs, est nulle.
Figure 2.17 Spectre du signal carré.
2.3 Le signal possède les propriétés de symétrie étudiées dans l’exercice 2.1. Par conséquent, nous pouvons écrire :
pour n pair,
An = 0
et pour n impair,
An =
4
T
T/4
0
s(t) cos nvt dt
Calculons cette expression dans le cas n impair :
An =
4A
T
t 1
0
cos nvt dt −
4A
T
T/4
t 1
cos nvt dt
Soit :
An =
4A
T
sin nvt
nv
t 1
0
−
4A
T
sin nvt
nv
T/4
t 1
An =
2A
np
sin nvt1 −
2A
np
sin np/2 − sin nvt1
d’où :
An =
4A
np
sin nvt1 −
2A
np
(−1)
n−1
2
La valeur de t1 qui annule l’harmonique 3 est telle que :
A3 =
4A
3p
sin 3vt1 +
2A
3p
= 0
Par conséquent :
2 sin 3vt1 + 1 = 0 ⇒ sin 3vt1 = −
1
2
d’où :
3vt1 =
7p
6
⇒ t1 =
7p
18v
=
7
36
T
On peut vérifier qu’il s’agit bien là de la seule solution telle que : 0 t1
T
4
.